Um bloco de 5 kg desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade de 10 m / s. Em seguida, encontra uma rampa áspera inclinada a 30^circ em relação à horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,2 . Determine a altura máxima que o bloco alcança antes de parar completamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de 5 kg que está deslizando numa superfície horizontal com uma velocidade inicial de 10 m/s. Depois, ele chega numa rampa inclinada a 30 graus e tem um atrito cinético de 0,2. Nosso objetivo aqui é descobrir até que altura esse bloco sobe na rampa antes de parar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinética e trabalho de forças, considerando a energia cinética inicial, o trabalho feito pela força da gravidade e o trabalho feito pela força de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética que o bloco tem no início, quando está se movendo na horizontal. A energia cinética (EC) é dada por:
EC = 12 m v^2
Onde:
  • $ m = 5 , kg $ é a massa do bloco,
  • $ v = 10 , m/s $ é a velocidade inicial.
Então,
m = 5 , kg

Passo 3

Agora, quando o bloco sobe na rampa, ele vai converter essa energia cinética em energia potencial gravitacional (EPG) e vai também perder energia devido ao atrito. A energia potencial gravitacional é dada por:
EPG = m g h
Onde:
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura que queremos encontrar.
Além disso, a força de atrito (F_a) que age contra o movimento é:
g = 9,8 , m/s^2
Onde:
  • $ \mu_k = 0,2 $ é o coeficiente de atrito cinético,
  • $ N $ é a força normal.

Passo 4

Para encontrar a força normal na rampa inclinada, lembramos que ela é igual à componente perpendicular da força gravitacional. Então,
N = m g cos(theta)
Com $ \theta = 30^\circ $,
theta = 30^circ
Então, a força de atrito é:
N = 5 times 9,8 times cos(30^circ) approx 5 times 9,8 times 0,866 = 42,45 , N

Passo 5

O trabalho total que o bloco vai realizar ao subir é a soma da energia potencial e do trabalho do atrito. O trabalho do atrito (W_a) é dado por:
Wa = Fa times d
Onde $ d $ é a distância percorrida na rampa. Mas como queremos a altura máxima, vamos relacionar $ d $ com $ h $ usando a inclinação da rampa:
d
Então,
d

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei da Conservação de Energia, onde a energia cinética inicial é igual à soma da energia potencial e do trabalho do atrito:
EC = EPG + Wa
Substituindo os valores:
250 = 5 times 9,8 times h + 16,98h
250 = 49h + 16,98h = 65,98h

Passo 7

Para encontrar $ h $, isolamos a variável:
h

Resposta

A altura máxima que o bloco alcança antes de parar completamente é aproximadamente 3,79 metros.

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