Um bloco de 0,2 m², com 2,0 kg de massa, desliza para baixo em um plano inclinado, sobre uma película de óleo SAE 30 a 20^circ C com 0,02 mm de espessura. Esboce a variação esperada para a velocidade do bloco em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um bloco de 2,0 kg com uma área de contato de 0,2 m² que desliza por um plano inclinado. Esse plano está coberto por uma película de óleo SAE 30 a 20°C, com espessura de 0,02 mm. O que a gente precisa fazer é esboçar como a velocidade do bloco varia ao longo do tempo enquanto ele desce.
Conteúdo da Matéria: Movimento em um plano inclinado com resistência do ar e atrito viscoso devido ao óleo.
O que vamos precisar:
  • Entender as forças atuantes no bloco (gravitacional e de resistência).
  • Aplicar as leis de Newton para relacionar essas forças com a aceleração.
  • Integrar a aceleração para encontrar a velocidade em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no bloco:
  1. Força da Gravidade (Peso): Puxa o bloco para baixo com uma força de $ P = m \cdot g $, onde $ m $ é a massa e $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s² $).
  2. Componente da Força da Gravidade ao longo do Plano Inclinado: Essa é a força que faz o bloco deslizar para baixo, calculada por $ P_{\parallel} = P \cdot \sin(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo do plano inclinado.
  3. Força de Resistência (Atrito Viscoso): Devido à película de óleo, há uma força que resiste ao movimento, proporcional à velocidade. Podemos expressar isso como $ F_{resistência} = k \cdot v $, onde $ k $ é uma constante relacionada à viscosidade do óleo e $ v $ é a velocidade do bloco.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas forças:
  • Peso do Bloco:
    P = m cdot g = 2,0 , kg cdot 9,8 , m/s² = 19,6 , N ²
  • Componente do Peso ao longo do Plano Inclinado:
    Pparal<=l = P cdot sin(theta) = 19,6 , N cdot sin(20°) approx 19,6 , N cdot 0,3420 approx 6,7 , N

Passo 4

Agora, precisamos determinar a força de resistência causada pelo óleo. Para isso, precisamos relacionar a viscosidade do óleo com a força de resistência.
A força de resistência viscosa pode ser expressa por:
Fresistência = eta cdot A cdot vd ê
onde:
  • $ \eta $ é a viscosidade do óleo SAE 30 a 20°C.
  • $ A $ é a área de contato (0,2 m²).
  • $ v $ é a velocidade do bloco.
  • $ d $ é a espessura da película de óleo (0,02 mm = $ 0,00002 , m $).
Assumindo que a viscosidade $ \eta $ do óleo SAE 30 a 20°C é aproximadamente $ 0,29 , Pa \cdot s $.
Então:
eta ê²
Então, $ F_{resistência} = 580 \cdot v $ N.

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = m \cdot a $).
A força resultante que atua no bloco é a componente do peso menos a força de resistência:
F = m cdot a ê
Então:
Fresu
m cdot a = 6,7 - 580 cdot v

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para encontrar $ \frac{dv}{dt} $:
dvdt
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade $ v $ varia com o tempo $ t $.

Passo 7

Para resolver essa equação diferencial, podemos rearranjá-la para:
dvdt + 290 cdot v = 3,35
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
mu(t)
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
mu(t) = e^integral 290 , dt = e^290t
e^290t cdot dvdt + 290 cdot e^290t cdot v = 3,35 cdot e^290t
Integrando ambos os lados:
ddt ( e^290t cdot v ) = 3,35 cdot e^290t
e^290t cdot v = 3,35290 cdot e^290t + C
v = 3,35290 + C cdot e^-290t

Passo 8

Determinar a constante $ C $ usando a condição inicial. Supondo que o bloco parte do repouso ($ v(0) = 0 $):
C
v(0) = 0
Então, a expressão para a velocidade em função do tempo é:
0 = 0,0116 + C cdot e^0

Resposta

A velocidade do bloco em função do tempo é dada por
v(t) = 0,0116 ( 1 - e^-290t ) , m/s
Isso significa que a velocidade cresce rapidamente no início e se aproxima de um valor constante de 0,0116 m/s conforme o tempo aumenta.

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