Um bloco de 0,2 m², com 2,0 kg de massa, desliza para baixo em um plano inclinado, sobre uma película de óleo SAE 30 a
com
de espessura. Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos um bloco com massa de 2,0 kg e área de 0,2 m² que está deslizando para baixo de um plano inclinado de 20 graus. Esse bloco está se movendo sobre uma película de óleo SAE 30 com espessura de 0,02 mm a 20°C. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade do bloco muda com o tempo, ou seja, encontrar uma expressão para $ v(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam no bloco enquanto ele desliza e como a viscosidade do óleo influencia nesse movimento. Vamos usar conceitos de física sobre movimento em planos inclinados e resistência viscosa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco. Quando um objeto desliza em um plano inclinado, existem duas forças principais a considerar:
-
Força da gravidade paralela ao plano ($ F_g $): Essa força faz o bloco deslizar para baixo e é dada por:onde:
- $ m = 2,0, kg $ é a massa do bloco,
- $ g = 9,81, m/s² $ é a aceleração da gravidade,
- $ \theta = 20° $ é o ângulo do plano inclinado.
-
Força de resistência viscosa ($ F_{visc} $): Essa força se opõe ao movimento do bloco e é causada pelo óleo. A resistência viscosa pode ser calculada por:onde:
- $ \eta $ é a viscosidade do óleo,
- $ A = 0,2, m² $ é a área de contato do bloco com o óleo,
- $ v $ é a velocidade do bloco,
- $ h = 0,02, mm = 0,00002, m $ é a espessura da película de óleo.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação de movimento do bloco usando a segunda lei de Newton. A segunda lei nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
As forças atuantes no sentido do movimento são a força da gravidade paralela ao plano ($ F_g
F_{visc} $) que age na direção oposta. Portanto, a força resultante é:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos envolvendo $ v $:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos encontrar o fator integrante, que é $ e^{\frac{\eta A}{m h} t} $.
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação para encontrar $ v(t) $:
A integral do lado direito fica:
Resolvendo para $ v(t) $:
Resposta
A velocidade do bloco em função do tempo é dada por: