Um bloco de 0,2 m², com 2,0 kg de massa, desliza para baixo em um plano inclinado, sobre uma película de óleo SAE 30 a 20^circ C com 0,02 mm de espessura. Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos um bloco com massa de 2,0 kg e área de 0,2 m² que está deslizando para baixo de um plano inclinado de 20 graus. Esse bloco está se movendo sobre uma película de óleo SAE 30 com espessura de 0,02 mm a 20°C. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade do bloco muda com o tempo, ou seja, encontrar uma expressão para $ v(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam no bloco enquanto ele desliza e como a viscosidade do óleo influencia nesse movimento. Vamos usar conceitos de física sobre movimento em planos inclinados e resistência viscosa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco. Quando um objeto desliza em um plano inclinado, existem duas forças principais a considerar:
  1. Força da gravidade paralela ao plano ($ F_g $): Essa força faz o bloco deslizar para baixo e é dada por:
    Fg
    onde:
    • $ m = 2,0, kg $ é a massa do bloco,
    • $ g = 9,81, m/s² $ é a aceleração da gravidade,
    • $ \theta = 20° $ é o ângulo do plano inclinado.
  2. Força de resistência viscosa ($ F_{visc} $): Essa força se opõe ao movimento do bloco e é causada pelo óleo. A resistência viscosa pode ser calculada por:
    Fg = m g sin(theta)
    onde:
    • $ \eta $ é a viscosidade do óleo,
    • $ A = 0,2, m² $ é a área de contato do bloco com o óleo,
    • $ v $ é a velocidade do bloco,
    • $ h = 0,02, mm = 0,00002, m $ é a espessura da película de óleo.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação de movimento do bloco usando a segunda lei de Newton. A segunda lei nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Fresu
As forças atuantes no sentido do movimento são a força da gravidade paralela ao plano ($ F_g Fg ê F_{visc} $) que age na direção oposta. Portanto, a força resultante é:
Fvisc
Substituindo na segunda lei de Newton:
Fresu

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos envolvendo $ v $:
v
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos encontrar o fator integrante, que é $ e^{\frac{\eta A}{m h} t} $.
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
m dvdt + eta Ah v = m g sin(theta)
Isso simplifica para:
e^eta Am h t

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação para encontrar $ v(t) $:
v(t)
A integral do lado direito fica:
v cdot e^eta Am h t = integral g sin(theta) h cdot e^eta Am h t dt + C
Resolvendo para $ v(t) $:
v cdot e^eta Am h t = g sin(theta) h m heta A e^eta Am h t + C

Resposta

A velocidade do bloco em função do tempo é dada por:
v(t) = m g sin(theta) heta A (1 - e^-eta Am h t)

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