Um bloco de 5 kg esta pendurado por uma corda que passa por uma polia de raio
e momento de inercia
. Ao descer, o bloco faz a polia girar.
Sabendo que nao ha atrito, escreva a equacao de conservacao de energia considerando o momento de inercia da polia e explique o papel do momento angular na dinamica do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
preso a uma corda que passa por uma polia de raio
e momento de inércia
. Quando o bloco desce de uma altura
, ele adquire velocidade
e faz a polia girar com velocidade angular
. O objetivo é escrever a conservação de energia incluindo tanto a energia de translação do bloco quanto a energia de rotação da polia e depois comentar o papel do momento angular na dinâmica.
Passo 2
Inicialmente o sistema tem apenas energia potencial gravitacional do bloco. Se o bloco desceu uma altura
,
Passo 3
Depois da descida, o bloco tem energia cinética de translação e a polia tem energia cinética de rotação. Assim,
Passo 4
Como a corda não desliza, a velocidade linear do bloco e a velocidade angular da polia estão ligadas por
Substituindo em
dá
Passo 5
Pela conservação de energia sem atrito temos
Essa é a equação de conservação de energia que leva em conta o momento de inércia da polia.
Passo 6
O momento angular da polia é definido por
Na dinâmica, o torque
causado pela tensão na corda varia
segundo
onde
é a aceleração angular. O momento de inércia
atua como “inércia rotacional”, fazendo com que parte da energia gravitacional do bloco seja investida em rotação da polia. Quanto maior
, mais energia vai para
e menor será a aceleração e a velocidade
do bloco.
Resposta
A equação de conservação de energia é
O momento angular
entra na dinâmica porque o torque da corda modifica
segundo
, e o momento de inércia
determina quanto da energia do bloco será convertido em rotação da polia, reduzindo a aceleração do bloco.