Um bloco de 5 kg esta pendurado por uma corda que passa por uma polia de raio 0,2 m e momento de inercia 0,1 kg cdot m^2. Ao descer, o bloco faz a polia girar.
Sabendo que nao ha atrito, escreva a equacao de conservacao de energia considerando o momento de inercia da polia e explique o papel do momento angular na dinamica do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=5;kg preso a uma corda que passa por uma polia de raio R=0,2;m e momento de inércia I=0,1;kgcdot m^2. Quando o bloco desce de uma altura h, ele adquire velocidade v e faz a polia girar com velocidade angular omega. O objetivo é escrever a conservação de energia incluindo tanto a energia de translação do bloco quanto a energia de rotação da polia e depois comentar o papel do momento angular na dinâmica.

Passo 2

Inicialmente o sistema tem apenas energia potencial gravitacional do bloco. Se o bloco desceu uma altura h,
Ei = m g h

Passo 3

Depois da descida, o bloco tem energia cinética de translação e a polia tem energia cinética de rotação. Assim,
Ef = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,I,omega^2

Passo 4

Como a corda não desliza, a velocidade linear do bloco e a velocidade angular da polia estão ligadas por
omega = vR
Substituindo em Ef
Ef = tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,Il(v^2R^2r) =12l(m + IR^2r)v^2

Passo 5

Pela conservação de energia sem atrito temos
m g h ;=;12l(m + IR^2r)v^2
Essa é a equação de conservação de energia que leva em conta o momento de inércia da polia.

Passo 6

O momento angular da polia é definido por
L = I,omega
Na dinâmica, o torque tau causado pela tensão na corda varia L segundo
tau = dLdt = I,alpha,
onde alpha é a aceleração angular. O momento de inércia I atua como “inércia rotacional”, fazendo com que parte da energia gravitacional do bloco seja investida em rotação da polia. Quanto maior I, mais energia vai para L e menor será a aceleração e a velocidade v do bloco.

Resposta

A equação de conservação de energia é
m g h ;=;tfrac12,m,v^2 ;+;tfrac12,I,omega^2 Longrightarrow m g h = tfrac12l(m + IR^2r)v^2
O momento angular L=Iomega entra na dinâmica porque o torque da corda modifica L segundo tau=Ialpha, e o momento de inércia I determina quanto da energia do bloco será convertido em rotação da polia, reduzindo a aceleração do bloco.

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