Um bloco de 0,5 kg está preso a uma mola com constante elástica k=20 N / m e sofre uma força de amortecimento proporcional à velocidade, com coeficiente de amortecimento b=2,0 kg / s.
Determine:
a) A frequência angular do sistema amortecido.
b) A equação do movimento, sabendo que inicialmente o bloco está a 5,0 cm da posição de equilíbrio e sem velocidade inicial.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso. Temos massa
,m=0,5,kg, constante elástica
,k=20,N/m e coeficiente de amortecimento
,b=2,0,kg/s. A equação de movimento é
mddot x + bdot x + kx = 0,
que leva a um regime subamortecido quando b/(2m)<raizk/m. Precisamos achar:
a) a frequência angular amortecida omegad;
b) a solução x(t) com x(0)=5,0,cm e dot x(0)=0.

Passo 2

Calcular a frequência natural não amortecida
omega0 = raizkm = raiz200,5 = raiz40 approx 6,3249 rad/s,
e o parâmetro de amortecimento
beta = b2m = 2,02cdot0,5 =2,0 s^-1

Passo 3

Como beta<omega0, o regime é subamortecido e a frequência amortecida é
omegad = raizomega0^2 - beta^2 = raiz40 - 4 =6,0 rad/s

Passo 4

A solução geral no regime subamortecido é
x(t) = e^-beta tl(Ccos(omegad t)+Dsin(omegad t)r)
Aplicando as condições iniciais x(0)=0,05,m e dot x(0)=0:
x(0)=C=0,05, dot x(0)=-beta C + omegad D=0 ;Longrightarrow; D=beta Comegad =2,0cdot0,056,0 =0,0167
Assim,
x(t)=e^-2,0,tl(0,05cos(6,0,t)+0,0167sin(6,0,t)r)(m)

Resposta

a) omegad=6,0 rad/s
b) x(t)=e^-2,0,tl(0,05cos(6,0,t)+0,0167sin(6,0,t)r) m

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