Um bloco de 4 kg está em repouso em uma rampa inclinada em um ângulo de 45 graus em relação à horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a rampa é de 0,6 . Qual é a força mínima que deve ser aplicada horizontalmente ao bloco para que ele comece a subir a rampa?
Passo 1
O enunciado pede a força horizontal mínima que devemos aplicar para que um bloco comece a subir uma rampa inclinada. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
a força aplicada é horizontal (vamos chamá-la de
). Vou assumir a aceleração da gravidade
.
O objetivo final: encontrar o menor valor de tal que o bloco, inicialmente em repouso, passe do repouso para movimento subindo a rampa.
O objetivo final: encontrar o menor valor de
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente as forças que atuam no bloco (isso é essencial para resolver): existem quatro forças importantes:
- O peso, vertical para baixo, módulo
. - A força normal
, perpendicular à superfície da rampa, para fora da rampa. - A força de atrito estático
, que se opõe ao movimento que está prestes a ocorrer. Como queremos que o bloco suba, a direção do movimento pretendido é para cima ao longo da rampa; portanto a força de atrito atuará para baixo ao longo da rampa. - A força aplicada horizontal
, que tem componentes ao longo da rampa e perpendicular à rampa.
Agora precisamos decompor o peso e a forçaem componentes paralela e perpendicular à rampa.
Passo 3
Componentes do peso:
- Componente perpendicular à rampa:
. - Componente paralela à rampa (para baixo, empurrando o bloco ladeira abaixo):
.
Explicando rapidinho por que: ao projetar o vetor peso em eixos ligados à rampa, os ângulos trigonométricos dão essas componentes (é a decomposição padrão num triângulo retângulo formado entre vertical e os eixos da rampa).
Componentes da força horizontal
:
Imagine a rampa inclinada para a direita com ângulo . A componente de
ao longo da rampa (ajudando a subir) é
Imagine a rampa inclinada para a direita com ângulo
e a componente perpendicular (empurrando para dentro da rampa, aumentando a normal) tem módulo
Justificativa curta: o ângulo entre a horizontal e a direção da rampa é
, então projeção da horizontal na direção da rampa usa
, e a projeção na direção perpendicular usa
.
Passo 4
Equação para a força normal
: como não há aceleração perpendicular à rampa (o bloco não penetra nem se separa da superfície), a soma das forças nessa direção é zero. Assim:
Expliquei:
aponta para dentro da rampa (componente do peso) e
também aponta para dentro da rampa (a força horizontal tem essa componente que “pressiona” o bloco contra a rampa).
Passo 5
Atrito estático máximo e condição de movimento: o atrito estático máximo vale
Quando o bloco está exatamente prestes a começar a subir, o atrito toma seu valor máximo e atua para baixo ao longo da rampa:
.
Equilíbrio de forças ao longo da rampa no instante em que começa a se mover (direção positiva para cima da rampa):
a soma das forças deve ser zero no limite estático. Assim:
a soma das forças deve ser zero no limite estático. Assim:
Substituindo
e
da etapa anterior:
Passo 6
Agora isolamos
nessa equação. Primeiro expandimos os termos:
Agrupando os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Logo a expressão fechada para
(força mínima horizontal) é
Comentário sobre o denominador: ele precisa ser positivo para que haja solução finita; fisicamente isso significa que a componente ao longo da rampa da força horizontal consegue vencer o aumento do atrito causado pela mesma força (aqui, para
e
isso ocorre).
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro observação trigonométrica útil: como
,
Substituindo
,
,
:
Numerador:
Numerador:
Como
, fatoramos:
Então
Denominador:
Dividindo:
Passo 8
Interpretação final e arredondamento amigável: o valor obtido é
. Em notação com três algarismos significativos, posso apresentar como
.
Você conseguiu! Esse é o valor mínimo da força horizontal que começa a empurrar o bloco para cima da rampa, levando em conta que o atrito aumenta com a “pressão” extra que a força horizontal aplica contra a rampa.
Você conseguiu! Esse é o valor mínimo da força horizontal que começa a empurrar o bloco para cima da rampa, levando em conta que o atrito aumenta com a “pressão” extra que a força horizontal aplica contra a rampa.