Um bloco de 4 kg está em repouso em uma rampa inclinada em um ângulo de 45 graus em relação à horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a rampa é de 0,6 . Qual é a força mínima que deve ser aplicada horizontalmente ao bloco para que ele comece a subir a rampa?

Passo 1

O enunciado pede a força horizontal mínima que devemos aplicar para que um bloco comece a subir uma rampa inclinada. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
m=4\\ \text{kg},
\theta=45^\circ,
\mu_s=0{,}6,
a força aplicada é horizontal (vamos chamá-la de F). Vou assumir a aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
O objetivo final: encontrar o menor valor de F tal que o bloco, inicialmente em repouso, passe do repouso para movimento subindo a rampa.

Passo 2

Vamos desenhar mentalmente as forças que atuam no bloco (isso é essencial para resolver): existem quatro forças importantes:
  1. O peso, vertical para baixo, módulo mg.
  2. A força normal N, perpendicular à superfície da rampa, para fora da rampa.
  3. A força de atrito estático f_s, que se opõe ao movimento que está prestes a ocorrer. Como queremos que o bloco suba, a direção do movimento pretendido é para cima ao longo da rampa; portanto a força de atrito atuará para baixo ao longo da rampa.
  4. A força aplicada horizontal F, que tem componentes ao longo da rampa e perpendicular à rampa.
    Agora precisamos decompor o peso e a força F em componentes paralela e perpendicular à rampa.

Passo 3

Componentes do peso:
  • Componente perpendicular à rampa: mg\cos\theta.
  • Componente paralela à rampa (para baixo, empurrando o bloco ladeira abaixo): mg\sin\theta.
    Explicando rapidinho por que: ao projetar o vetor peso em eixos ligados à rampa, os ângulos trigonométricos dão essas componentes (é a decomposição padrão num triângulo retângulo formado entre vertical e os eixos da rampa).
Componentes da força horizontal F:
Imagine a rampa inclinada para a direita com ângulo \theta. A componente de F ao longo da rampa (ajudando a subir) é
F_{\parallel}=F\cos\theta,
e a componente perpendicular (empurrando para dentro da rampa, aumentando a normal) tem módulo
F_{\perp}=F\sin\theta.
Justificativa curta: o ângulo entre a horizontal e a direção da rampa é \theta, então projeção da horizontal na direção da rampa usa \cos\theta, e a projeção na direção perpendicular usa \sin\theta.

Passo 4

Equação para a força normal N: como não há aceleração perpendicular à rampa (o bloco não penetra nem se separa da superfície), a soma das forças nessa direção é zero. Assim:
N = mg\cos\theta + F\sin\theta.
Expliquei: mg\cos\theta aponta para dentro da rampa (componente do peso) e F\sin\theta também aponta para dentro da rampa (a força horizontal tem essa componente que “pressiona” o bloco contra a rampa).

Passo 5

Atrito estático máximo e condição de movimento: o atrito estático máximo vale
f_{s,\max}=\mu_s N.
Quando o bloco está exatamente prestes a começar a subir, o atrito toma seu valor máximo e atua para baixo ao longo da rampa: f_s=\mu_s N.
Equilíbrio de forças ao longo da rampa no instante em que começa a se mover (direção positiva para cima da rampa):
a soma das forças deve ser zero no limite estático. Assim:
F\cos\theta - mg\sin\theta - f_s = 0.
Substituindo f_s=\mu_s N e N da etapa anterior:
F\cos\theta - mg\sin\theta - \mu_s\bigl(mg\cos\theta + F\sin\theta\bigr)=0.

Passo 6

Agora isolamos F nessa equação. Primeiro expandimos os termos:
F\cos\theta - mg\sin\theta - \mu_s mg\cos\theta - \mu_s F\sin\theta = 0.
Agrupando os termos que contêm F de um lado e os demais do outro:
F(\cos\theta - \mu_s\sin\theta) = mg(\sin\theta + \mu_s\cos\theta).
Logo a expressão fechada para F (força mínima horizontal) é
\boxed{F=\dfrac{mg\bigl(\sin\theta+\mu_s\cos\theta\bigr)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}}.
Comentário sobre o denominador: ele precisa ser positivo para que haja solução finita; fisicamente isso significa que a componente ao longo da rampa da força horizontal consegue vencer o aumento do atrito causado pela mesma força (aqui, para \mu_s<1 e \theta=45^\circ isso ocorre).

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro observação trigonométrica útil: como \theta=45^\circ,
\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}70710678.
Substituindo m=4, g=9{,}8, \mu_s=0{,}6:
Numerador:
mg(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)=4\cdot 9{,}8\cdot\bigl(0{,}70710678+0{,}6\cdot 0{,}70710678\bigr).
Como \sin\theta=\cos\theta, fatoramos:
\sin\theta+\mu_s\cos\theta=(1+\mu_s)\sin\theta=1{,}6\cdot 0{,}70710678\approx 1{,}13137085.
Então
\text{numerador}\approx 4\cdot 9{,}8\cdot 1{,}13137085 = 39{,}2\cdot 1{,}13137085 \approx 44{,}35\\ \text{N}.
Denominador:
\cos\theta-\mu_s\sin\theta=(1-\mu_s)\cos\theta=0{,}4\cdot 0{,}70710678\approx 0{,}28284271.
Dividindo:
F\approx \dfrac{44{,}35}{0{,}28284271}\approx 156{,}8\\ \text{N}.

Passo 8

Interpretação final e arredondamento amigável: o valor obtido é 156{,}8\\ \text{N}. Em notação com três algarismos significativos, posso apresentar como 157\\ \text{N}.
Você conseguiu! Esse é o valor mínimo da força horizontal que começa a empurrar o bloco para cima da rampa, levando em conta que o atrito aumenta com a “pressão” extra que a força horizontal aplica contra a rampa.

Resposta

157\\ \text{N}

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