Um bloco de 2,0 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força é aplicada sobre o mesmo. A força é dada por F=(2 x^2+1) i-(2 y) j. A posição inicial da partícula é (0 ; 0). Após 3,0 s, o bloco está na posição (1 ; 4). Calcule o trabalho total realizado entre os pontos (0,0) e (1; 4); A energia cinética do bloco aumentou, diminuiu ou não houve variação?

Passo 1

Resumo da questão:
Temos um bloco de massa 2,0 kg que parte do repouso em (0,0) num piso sem atrito e, sob a ação da força
vec F(x,y) = l(2x^2 + 1r),hatimath ;-; (2y),hatjmath,
vai parar em (1,4) depois de 3 s. Precisamos calcular o trabalho total dessa força no deslocamento de (0,0) até (1,4) e dizer se a energia cinética do bloco aumentou, diminuiu ou ficou igual.
Conteúdo da matéria:
  • Trabalho de uma força variável (integral de linha)
  • Força conservativa e potencial escalar
  • Teorema trabalho–energia ( )
O que vamos precisar:
  1. Verificar se é conservativa (ver curl).
  2. Se for, achar um potencial tal que .
  3. Usar .
  4. Aplicar .

Passo 2

Primeiro, mostramos que partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial(-2y)partial x - partial(2x^2+1)partial y = 0 - 0 = 0 é conservativa. Em 2D, basta verificar o “rotacional” (curl z‐componente):
Como o curl é zero, é conservativa e existe um potencial com .

Passo 3

Vamos achar partial phipartial x = Fx = 2x^2+1, . Como
phi(x,y) = integral (2x^2+1),dx = tfrac23x^3 + x + h(y),
integramos em partial phipartial y = h'(y) = Fy = -2y Longrightarrow h(y) = -y^2 + C :
boxedphi(x,y) = tfrac23x^3 + x ;-; y^2
onde é função só de . Agora impomos
Podemos escolher (eles se cancelam na diferença). Logo

Passo 4

O trabalho é
W = phi(1,4) ;-;phi(0,0)
Calculemos:
phi(1,4) = tfrac23(1)^3 + 1 ;-;(4)^2 = tfrac23 + 1 - 16 = tfrac53 - 16 = -tfrac433 (J),
phi(0,0) = 0 + 0 - 0 = 0
Portanto
boxedW = -tfrac433,J approx -14,33 J

Passo 5

Pela relação trabalho–energia temos
De
Isso significa que a energia cinética do bloco diminuiu (ficou ).

Resposta

Trabalho total:
Energia cinética: diminuiu.

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