Um bloco de lado 1,14 \mathrm{~m} e densidade 21,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} desliza sobre uma rampa de inclinação 30^{\circ}. Enquanto desliza, o bloco é freado pela força de arrasto exercida pelo ar e pela força de atrito com a superfície. Os coeficientes de atrito cinético e estático são 0,4 e 0,8 , respectivamente. O coeficiente de arrasto é 0,15 . Utilize a densidade do ar 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a) Sabe-se que a força de arrasto D depende da densidade do meio \rho, da área A da seção reta efetiva do corpo e da velocidade v do corpo, ou, \mathrm{D}(\rho, \mathrm{A}, \mathrm{v}). Utilizando ANÁLISE DIMENSIONAL (Método dos expoentes desconhecidos), encontre a equação ( D=0,5 \mathrm{C} \rho \mathrm{Av}^{2} ) que descreve a força de arrasto D em função de \rho, A e v. Utilize o valor da constante como \mathrm{C} / 2, onde C é o coeficiente de arrasto.
b) Calcule a velocidade terminal do bloco.
R: b) v=20,29 m/s

Passo 1

O enunciado dá um bloco cúbico de lado 1,14\\ \mathrm{m} e densidade do material do bloco \rho_{\text{bloco}}=21,6\\ \mathrm{kg/m^{3}}. O bloco desliza numa rampa com inclinação \theta=30^\circ. Fornecem-se ainda os coeficientes de atrito estático e cinético \mu_s=0,8 e \mu_k=0,4, o coeficiente de arrasto C=0,15 e a densidade do ar \rho_{\text{ar}}=1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Pede-se:
a) Usando análise dimensional (método dos expoentes desconhecidos), deduzir a forma funcional da força de arrasto D em função de \rho, A e v, apresentando a equação na forma D=0,5\,C\,\rho\,A\,v^{2} (ou seja, constante =C/2).
b) Calcular a velocidade terminal do bloco (isto é, a velocidade de regime em que as forças ao longo da rampa se equilibram). O enunciado afirma que o bloco desliza — portanto usaremos o coeficiente de atrito cinético \mu_k para o equilíbrio dinâmico. Assumo que a área efetiva de arrasto é a face frontal do cubo A = (1,14\\ \mathrm{m})^{2}. Tomarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para obter o resultado numérico pedido.
Dados relevantes (resumindo numericamente):
\begin{aligned} &\text{lado } l=1,14\\ \mathrm{m},\quad \rho_{\text{bloco}}=21,6\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \rho_{\text{ar}}=1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\mu_k=0,4,\quad C=0,15,\quad \theta=30^\circ,\quad g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}},\\\ &A = l^{2}=(1,14)^{2}\\ \mathrm{m^{2}}. \end{aligned}

Passo 2

Análise dimensional para achar a dependência de [D) com \rho, A e v.
  1. Posso supor a forma geral (método dos expoentes desconhecidos):
D = k\,\rho^{\,a}\,A^{\,b}\,v^{\,c},
onde k é uma constante adimensional desconhecida e a,b,c são expoentes a determinar.
  1. Escrevo as dimensões físicas de cada quantidade (entre colchetes):
[D]=\mathrm{M\,L\,T^{-2}},\quad [\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}},\quad [A]=\mathrm{L^{2}},\quad [v]=\mathrm{L\,T^{-1}}.
  1. Aplicando as dimensões ao lado direito:
[\rho^{a}A^{b}v^{c}] = \mathrm{M^{a}\,L^{-3a}\,L^{2b}\,L^{c}\,T^{-c}} = \mathrm{M^{a}\,L^{-3a+2b+c}\,T^{-c}}.
  1. Igualo as potências de \mathrm{M,L,T} às do lado esquerdo \mathrm{M^{1}L^{1}T^{-2}}, gerando o sistema linear:
\begin{cases} a = 1 &\text{(coeficiente de M)}\\[4pt] -3a + 2b + c = 1 &\text{(coeficiente de L)}\\[4pt] -c = -2 &\text{(coeficiente de T)} \end{cases}
  1. Da terceira equação vem c=2\]. Da primeira, \(a=1. Substituindo na segunda:
-3(1) + 2b + 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad -3 + 2b + 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2b = 2 \quad\Rightarrow\quad b=1.
  1. Logo os expoentes são a=1,\\ b=1,\\ c=2. A forma dimensional exige
D = k\,\rho\,A\,v^{2}.
  1. Experimentalmente (e por convenção em aerodinâmica) a constante adimensional costuma ser escrita como k=C/2, onde C é o coeficiente de arrasto. Portanto obtemos a fórmula final:
\boxed{\,D = \frac{C}{2}\,\rho\,A\,v^{2}\,}
Isto corresponde exatamente à forma pedida D=0,5\,C\,\rho\,A\,v^{2}. Observação didática: a análise dimensional determina a forma funcional (dependência com \rho,A,v) mas não o fator numérico adimensional; esse fator vem de teoria/experimento e é representado por C/2.]

Passo 3

Determinar massa do bloco e a área efetiva A que entra na expressão de arrasto.
  1. Volume do cubo:
V = l^{3} = (1,14)^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculo:
(1,14)^{2} = 1,2996,\quad V = 1,2996\times 1,14 = 1,481544\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Massa do bloco:
m = \rho_{\text{bloco}}\,V = 21,6\times 1,481544 = 32,0013504\\ \mathrm{kg}\approx 32,00\\ \mathrm{kg}.
  1. Área frontal assumida (face do cubo perpendicular ao movimento do ar):
A = l^{2} = 1,2996\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Balanceamento de forças ao longo da rampa e equação da velocidade terminal.
  1. Forças ao longo da rampa (tomando positivo para baixo ao longo da rampa):
  • Componente do peso ao longo da rampa: \;F_{g,\parallel}= m g \sin\theta.
  • Força de atrito cinético (oposta ao movimento): \;F_{\text{at}}=\mu_k N=\mu_k m g \cos\theta.
  • Força de arrasto aerodinâmico (oposta ao movimento): \;D=\dfrac{C}{2}\rho_{\text{ar}} A v^{2}.
  1. Na velocidade terminal a resultante ao longo da rampa é zero:
m g \sin\theta - \mu_k m g \cos\theta - \frac{C}{2}\rho_{\text{ar}} A v^{2} = 0.
  1. Isolando v^{2}:
\frac{C}{2}\rho_{\text{ar}} A v^{2} = m g (\sin\theta - \mu_k \cos\theta).
  1. Logo:
v^{2} = \frac{2 m g (\sin\theta - \mu_k \cos\theta)}{C\,\rho_{\text{ar}}\,A}, \qquad v = \sqrt{\frac{2 m g (\sin\theta - \mu_k \cos\theta)}{C\,\rho_{\text{ar}}\,A}}.
Comentário didático: a combinação \sin\theta -\mu_k\cos\theta é a força motriz por unidade de peso que “sobra” após vencer o atrito; se fosse negativa o bloco não conseguiria manter movimento sem empurrão.

Passo 5

Substituição numérica e cálculo com atenção às contas (usando g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  1. Calculo do factor (\sin\theta - \mu_k \cos\theta) com \theta=30^\circ:
\sin 30^\circ = 0,5,\quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254.
\sin\theta - \mu_k\cos\theta = 0,5 - 0,4\times 0,8660254 = 0,5 - 0,34641016 = 0,15358984.
  1. Numerador da expressão de v^{2}:
2 m g (\sin\theta - \mu_k\cos\theta) = 2\times 32,0013504 \times 9,8 \times 0,15358984.
Faço em etapas:
m g = 32,0013504\times 9,8 \approx 313,613232\\ \mathrm{N}.
2 m g \approx 627,226464\\ \mathrm{N}.
2 m g (\sin\theta - \mu_k\cos\theta) \approx 627,226464\times 0,15358984 \approx 96,335\\ (\text{unidade N}).
  1. Denominador:
C\,\rho_{\text{ar}}\,A = 0,15\times 1,2 \times 1,2996 = 0,18\times 1,2996 = 0,233928.
  1. Portanto
v^{2} \approx \frac{96,335}{0,233928} \approx 411,84\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
  1. Finalmente:
v \approx \sqrt{411,84}\approx 20,29\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) D = \dfrac{C}{2}\,\rho\,A\,v^{2}.
b) v = 20,29\\ \mathrm{m/s}

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