Um gás escoa em regime permanente por uma tubulação de diâmetro D quando passa por uma redução cônica e passa a escoar por uma tubulação de diâmetro D/2. A densidade do gás na tubulação maior é de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, enquanto sua velocidade é de 32 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Por outro lado, a velocidade do gás após a redução passa a ser de 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para as condições de escoamento estabelecidas, estima-se que
densidade do gás, em \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, na seção menor vale:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 10
e) 16

Passo 1

O enunciado pede a densidade do gás na seção menor após a redução (valor em kg/m³). Informações dadas:
  • Diâmetro da tubulação antes da redução: D.
  • Diâmetro da tubulação depois da redução: D/2.
  • Densidade na seção maior (1): \rho_1 = 2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Velocidade na seção maior (1): v_1 = 32\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Velocidade na seção menor (2): v_2 = 16\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Pergunta: qual é a densidade \rho_2 na seção menor?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: conservação de massa para escoamento em regime permanente (taxa de massa constante ao longo da tubulação). Escrevemos a equação da continuidade (massa por unidade de tempo):
\dot{m}=\rho A v\quad\text{é constante.}é
Aqui:
  • \dot{m} é o fluxo mássico (kg/s);
  • \rho é a densidade (kg/m³);
  • A é a área da seção transversal (m²);
  • v é a velocidade média do fluido (m/s).
    Portanto entre as seções 1 e 2 temos:
\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2.

Passo 3

Calcular a razão entre áreas a partir dos diâmetros. Para um círculo a área é proporcional ao quadrado do diâmetro, então
A_1 \propto D^2,\qquad A_2 \propto \left(\frac{D}{2}\right)^2.
Logo a razão área segunda/primeira é
\frac{A_2}{A_1}=\frac{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2}{D^2}=\frac{D^2/4}{D^2}=\frac{1}{4}.
Também é útil a razão inversa:
\frac{A_1}{A_2}=4.

Passo 4

Reescrevendo a equação da continuidade para \rho_2:
\rho_2 = \rho_1 \frac{A_1 v_1}{A_2 v_2} = \rho_1 \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\left(\frac{v_1}{v_2}\right).
Substituímos a razão de áreas \dfrac{A_1}{A_2}=4.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
\frac{v_1}{v_2}=\frac{32}{16}=2.
Logo o fator multiplicador é
\left(\frac{A_1}{A_2}\right)\left(\frac{v_1}{v_2}\right)=4\cdot 2=8.
Portanto
\rho_2=\rho_1\cdot 8 = 2\cdot 8.

Passo 6

Fazendo a multiplicação final:
\rho_2 = 16\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Interpretação curta (intuitiva): a área diminuiu muito (4× menor) e a velocidade também diminuiu (2× menor), para que a massa fluindo por segundo seja a mesma a densidade precisa aumentar em 8×.

Resposta

\,16\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3

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