Um gás escoa em regime permanente por uma tubulação de diâmetro D quando passa por uma redução cônica e passa a escoar por uma tubulação de diâmetro D/2. A densidade do gás na tubulação maior é de
, enquanto sua velocidade é de
. Por outro lado, a velocidade do gás após a redução passa a ser de
. Para as condições de escoamento estabelecidas, estima-se que
densidade do gás, em
, na seção menor vale:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 10
e) 16
densidade do gás, em
a) 2
b) 4
c) 8
d) 10
e) 16
Passo 1
O enunciado pede a densidade do gás na seção menor após a redução (valor em kg/m³). Informações dadas:
- Diâmetro da tubulação antes da redução:
. - Diâmetro da tubulação depois da redução:
. - Densidade na seção maior (1):
. - Velocidade na seção maior (1):
. - Velocidade na seção menor (2):
. - Pergunta: qual é a densidade
na seção menor?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar: conservação de massa para escoamento em regime permanente (taxa de massa constante ao longo da tubulação). Escrevemos a equação da continuidade (massa por unidade de tempo):
Aqui:
-
é o fluxo mássico (kg/s); -
é a densidade (kg/m³); -
é a área da seção transversal (m²); -
é a velocidade média do fluido (m/s).
Portanto entre as seções 1 e 2 temos:
Passo 3
Calcular a razão entre áreas a partir dos diâmetros. Para um círculo a área é proporcional ao quadrado do diâmetro, então
Logo a razão área segunda/primeira é
Também é útil a razão inversa:
Passo 4
Reescrevendo a equação da continuidade para
:
Substituímos a razão de áreas
.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
Logo o fator multiplicador é
Portanto
Passo 6
Fazendo a multiplicação final:
Interpretação curta (intuitiva): a área diminuiu muito (4× menor) e a velocidade também diminuiu (2× menor), para que a massa fluindo por segundo seja a mesma a densidade precisa aumentar em 8×.