(a) Determine, analiticamente, o potencial elétrico no eixo (eixo z ) de um disco uniforme de cargas (carga total Q ) de raio a localizado no plano x y. (b) Modele o disco por cargas pontuais ( 10,50 e 100 ), igualmente espaçada, mantendo a carga total Q e calcule computacionalmente o mesmo potencial elétrico em P e compare e comente os resultados obtidos com o resultado analítico para dois valores de a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Determinar, analiticamente, o potencial elétrico no eixo z de um disco de carga total Q, de raio a, uniformemente carregado e situado no plano xy. O ponto onde se quer o potencial é um ponto P sobre o eixo z a uma distância z do centro do disco.
  • (b) Modelar o disco por N cargas pontuais ( N=10,50,100) igualmente espaçadas, mantendo a carga total Q, calcular numericamente o potencial em P e comparar com o resultado analítico para dois valores de a.
Informações dadas:
  • Carga total do disco: Q.
  • Raio do disco: a.
  • Disco está no plano xy (centro na origem).
  • Posição do ponto pedido: um ponto P sobre o eixo z (distância z do plano do disco).
    Observação importante: o enunciado não especifica valores numéricos para a, z, nem para Q (nem quais dois valores de a usar). Para a parte (b), isso impede executar cálculos numéricos concretos; portanto, será apresentado um procedimento detalhado, um algoritmo (implementável), e comentários sobre o comportamento esperado e a convergência ao resultado analítico. Se valores numéricos forem fornecidos, o mesmo procedimento pode ser usado para obter os números.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (mini-aula):
  • Potencial elétrico devido a uma carga pontual q no vácuo, num ponto a distância R, é dado por
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui V tem referência V(\infty)=0.
  • Para uma distribuição contínua de carga com densidade superficial \sigma (carga por área), o potencial no ponto P é obtido somando (integrando) as contribuições de cada elemento de carga dq=\sigma\,dA:
V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iint \frac{dq}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iint \frac{\sigma\,dA}{R},
onde R é a distância do elemento dA até P.
  • Para o disco uniforme, a densidade superficial é
\sigma=\frac{Q}{\pi a^{2}}.
Explicação das variáveis: Q é a carga total do disco; a é o raio; \sigma tem unidades de carga por área; z é a coordenada do ponto P sobre o eixo z (assumimos z\ge 0 para fixar ideias).

Passo 3

Escolha de coordenadas e elemento de integração:
  • Usamos coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) centradas no disco. Um elemento de área do disco é dA = r\,dr\,d\varphi.
  • A distância do elemento com coordenadas (r,\varphi,0) até o ponto P(0,0,z) é
R=\sqrt{r^{2}+z^{2}}.
  • Contribuição de potencial de dq=\sigma\,dA=\sigma\,r\,dr\,d\varphi é
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\,r\,dr\,d\varphi}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.

Passo 4

Integral para o potencial (montagem da integral):
  • Integramos \varphi de 0 a 2\pi e r de 0 a a:
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sigma\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\frac{r\,dr\,d\varphi}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.
  • Integração em \varphi dá fator 2\pi:
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sigma(2\pi)\int_{0}^{a}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.

Passo 5

Cálculo explícito da integral em r:
  • Vamos avaliar
I=\int_{0}^{a}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.
Faça a substituição u=r^{2}+z^{2}\Rightarrow du=2r\,dr. Então
I=\frac{1}{2}\int_{u=z^{2}}^{u=a^{2}+z^{2}}\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}\left[2\sqrt{u}\right]_{z^{2}}^{a^{2}+z^{2}}=\sqrt{a^{2}+z^{2}}-\sqrt{z^{2}}.
  • Para z\ge 0 (caso mais comum), \sqrt{z^{2}}=z. Logo
I=\sqrt{a^{2}+z^{2}}-z.

Passo 6

Aplicando o resultado ao potencial:
  • Substituindo I em V(z) e lembrando \sigma=\dfrac{Q}{\pi a^{2}}, obtemos
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(2\pi\sigma\right)\left(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-z\right).
  • Simplificando 2\pi\sigma=2\pi\frac{Q}{\pi a^{2}}=\frac{2Q}{a^{2}} e o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, temos
V(z)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 a^{2}}\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-z\bigr),\qquad (z\ge 0).

Passo 7

Verificações e comentários didáticos sobre o resultado (o que ele nos diz e limites):
  • Valor no centro do disco ( z=0):
V(0)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 a^{2}}\bigl(\sqrt{a^{2}+0}-0\bigr)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 a}.
  • Limite para z\to\infty: expandindo \sqrt{a^{2}+z^{2}}=z\sqrt{1+(a/z)^{2}}\approx z+\dfrac{a^{2}}{2z}+\cdots. Então
V(z)\approx\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 a^{2}}\left(z+\frac{a^{2}}{2z}-z\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{z},
ou seja, no infinito o disco se comporta como uma carga pontual Q, recuperando o potencial de Coulomb — bom sinal de consistência.
  • Dependência com a: mantendo Q fixo e aumentando a, a densidade \sigma diminui, e o potencial em um ponto z fixo tende a diminuir (carga mais espalhada).

Passo 8

Parte (b): Método detalhado para modelar o disco com N cargas pontuais igualmente espaçadas e calcular numericamente V(P) — explicação passo a passo (implementação prática e didática).
  1. Escolha do ponto onde calcular o potencial: o ponto P é (0,0,z). Aqui z deve ser dado para computar numericamente.
  2. Distribuição das N cargas pontuais:
    • Se a intenção é “igualmente espaçadas” sobre a área do disco (densidade uniforme), uma maneira simples e razoável é dividir o disco em N pequenas áreas iguais e colocar uma carga q_{i}=Q/N no centro de cada sub-área. Há várias estratégias práticas para isso:
      a) Método por anéis e pontos angulares (determinístico e bom para poucos pontos): dividir o disco em vários anéis de áreas iguais e, em cada anel, posicionar pontos igualmente espaçados em ângulo. Por exemplo, escolher n_r anéis e, para o anel k, colocar n_{\theta,k} pontos proporcionais à circunferência do anel para manter densidade uniforme. Ajustar n_r e n_{\theta,k} para que a soma dê N.
      b) Método de amostragem uniforme por área (fácil de programar): gerar N pares (r_i,\theta_i) com r_i=a\sqrt{u_i} onde u_i\sim U(0,1) e \theta_i\sim U(0,2\pi). Isso produz uma distribuição uniforme sobre a área. Depois transformar para coordenadas cartesianas x_i=r_i\cos\theta_i, y_i=r_i\sin\theta_i.
    • Em ambos os casos cada ponto terá carga q_i=Q/N.
  3. Cálculo do potencial por soma discreta:
    • Pelo princípio da superposição, o potencial em P é
    V_{N}(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{R_{i}},onde R_{i}=\sqrt{x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z^{2}}=\sqrt{r_{i}^{2}+z^{2}}.
    • Como q_{i}=Q/N, fica
    V_{N}(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{r_{i}^{2}+z^{2}}}.
  4. Indicador de precisão e comparação:
    • Calcule o valor analítico V_{\text{anal}}(z)=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 a^{2}}\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-z\bigr).
    • Erro absoluto: |V_{N}-V_{\text{anal}}|. Erro relativo: \dfrac{|V_{N}-V_{\text{anal}}|}{|V_{\text{anal}}|}.
  5. Procedimento numérico em Python (esboço de código, legível e direto):
    • Exemplo de pseudocódigo/Python:
    import numpy as np
    
    def pontos_uniformes_disco(N, a):
        u = np.random.rand(N)            # uniform(0,1)
        r = a * np.sqrt(u)               # r distr. correta para área uniforme
        theta = 2*np.pi*np.random.rand(N)
        x = r * np.cos(theta)
        y = r * np.sin(theta)
        return r, x, y
    
    def potencial_discreto(r_array, z, Q, eps0):
        N = len(r_array)
        pref = Q / (4*np.pi*eps0 * N)
        return pref * np.sum(1.0 / np.sqrt(r_array**2 + z**2))
    
    # Exemplo de uso (substitua Q,a,z,eps0):
    r,x,y = pontos_uniformes_disco(N=100, a=0.1)
    Vn = potencial_discreto(r, z=0.05, Q=1.0, eps0=8.854187817e-12)
    
    • Para menos variação no resultado aleatório (se usar amostragem randômica), repetir várias simulações e média dos V_N ou usar distribuição determinística (anéis) para estabilidade.
  6. Como proceder para N=10,50,100:
    • Repetir a geração de pontos e o cálculo para cada N.
    • Calcular erro relativo em relação ao valor analítico para cada N.
    • Fazer gráficos de V_N vs N e do erro relativo vs N para visualizar convergência.
  7. Escolha de dois valores de a:
    • Para comparar, escolha dois valores de a (por exemplo, a pequeno e a grande em relação à z). Exemplo didático (apenas ilustrativo, troque conforme necessidade): a_1=0{,}01 m e a_2=0{,}1 m, ou valores adimensionais relativos ao z.

Passo 9

Discussão do que esperar nos resultados numéricos ao comparar com o analítico:
  • Convergência com N: conforme N aumenta, V_N tende ao valor analítico V_{\text{anal}}. Para amostragem aleatória, o erro típico decai como O(1/\sqrt{N}) (lei dos grandes números / erro estatístico). Com um arranjo determinístico (quadratura adequada, por exemplo anéis com pontos angulares bem escolhidos) a convergência pode ser muito mais rápida.
  • Dependência do ponto P:
    • Se z for pequeno (perto do disco), a contribuição de elementos próximos do centro é mais relevante; mal posicionamento de pontos na região central pode causar maior erro.
    • Se z for grande (muito além de a), já estamos no regime de monopolo e a soma converge mais rápido, porque cada ponto está aproximadamente à mesma distância z, e diferenças locais têm menor efeito.
  • Efeito do raio a: para Q fixo, aumentar a espalha a carga e reduz \sigma; portanto V tende a diminuir para um z fixo. Ao modelar numericamente, para discos muito grandes será necessário mais pontos para representar corretamente a distribuição superficial extensa.

Passo 10

Erros práticos e dicas para a prova/implementação:
  • Se a prova pedir só o raciocínio, explique o procedimento de discretização e escreva a expressão discreta de V_N.
  • Em código real: usar vetorização (NumPy) para acelerar somas; cuidado com N muito pequeno (resultados ruidosos); para comparação, trabalhar com erro relativo e indicar número de repetições se usar amostragem aleatória.
  • Para uma aproximação determinística simples e estável com poucos pontos, use divisão em anéis de áreas iguais e distribua em cada anel um número de pontos proporcional à circunferência do anel — isso preserva uniformidade e reduz erro sistemático.

Resposta

(a) \displaystyle V(z)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}a^{2}}\bigl(\sqrt{a^{2}+z^{2}}-z\bigr) para z\ge 0.\n(b) Não é possível fornecer os valores numéricos pedidos porque o enunciado não especifica os valores numéricos de a, de z (posição do ponto P) nem de Q. Forneci um algoritmo completo e instruções (distribuição das N cargas, fórmula discreta \displaystyle V_{N}(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{r_i^{2}+z^{2}}}, e critérios de comparação) que permitem calcular numericamente os resultados para N=10,50,100 e comparar com o resultado analítico assim que os valores de a, z e Q forem especificados.

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