(a) Determine, analiticamente, o potencial elétrico no eixo (eixo z ) de um disco uniforme de cargas (carga total
) de raio
localizado no plano
. (b) Modele o disco por cargas pontuais ( 10,50 e 100 ), igualmente espaçada, mantendo a carga total
e calcule computacionalmente o mesmo potencial elétrico em
e compare e comente os resultados obtidos com o resultado analítico para dois valores de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Determinar, analiticamente, o potencial elétrico no eixo
de um disco de carga total , de raio , uniformemente carregado e situado no plano . O ponto onde se quer o potencial é um ponto sobre o eixo a uma distância do centro do disco. - (b) Modelar o disco por
cargas pontuais ( ) igualmente espaçadas, mantendo a carga total , calcular numericamente o potencial em e comparar com o resultado analítico para dois valores de .
Informações dadas:
- Carga total do disco:
. - Raio do disco:
. - Disco está no plano
(centro na origem). - Posição do ponto pedido: um ponto
sobre o eixo (distância do plano do disco).
Observação importante: o enunciado não especifica valores numéricos para, , nem para (nem quais dois valores de usar). Para a parte (b), isso impede executar cálculos numéricos concretos; portanto, será apresentado um procedimento detalhado, um algoritmo (implementável), e comentários sobre o comportamento esperado e a convergência ao resultado analítico. Se valores numéricos forem fornecidos, o mesmo procedimento pode ser usado para obter os números.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (mini-aula):
- Potencial elétrico devido a uma carga pontual
no vácuo, num ponto a distância , é dado por
onde
é a permissividade do vácuo. Aqui
tem referência
.
- Para uma distribuição contínua de carga com densidade superficial
(carga por área), o potencial no ponto é obtido somando (integrando) as contribuições de cada elemento de carga :
onde
é a distância do elemento
até
.
- Para o disco uniforme, a densidade superficial é
Explicação das variáveis:
é a carga total do disco;
é o raio;
tem unidades de carga por área;
é a coordenada do ponto
sobre o eixo
(assumimos
para fixar ideias).
Passo 3
Escolha de coordenadas e elemento de integração:
- Usamos coordenadas cilíndricas
centradas no disco. Um elemento de área do disco é . - A distância do elemento com coordenadas
até o ponto é
- Contribuição de potencial de
é
Passo 4
Integral para o potencial (montagem da integral):
- Integramos
de a e de a :
- Integração em
dá fator :
Passo 5
Cálculo explícito da integral em
:
- Vamos avaliar
Faça a substituição
. Então
- Para
(caso mais comum), . Logo
Passo 6
Aplicando o resultado ao potencial:
- Substituindo
em e lembrando , obtemos
- Simplificando
e o fator , temos
Passo 7
Verificações e comentários didáticos sobre o resultado (o que ele nos diz e limites):
- Valor no centro do disco (
):
- Limite para
: expandindo . Então
ou seja, no infinito o disco se comporta como uma carga pontual
, recuperando o potencial de Coulomb — bom sinal de consistência.
- Dependência com
: mantendo fixo e aumentando , a densidade diminui, e o potencial em um ponto fixo tende a diminuir (carga mais espalhada).
Passo 8
Parte (b): Método detalhado para modelar o disco com
cargas pontuais igualmente espaçadas e calcular numericamente
— explicação passo a passo (implementação prática e didática).
- Escolha do ponto onde calcular o potencial: o ponto
é . Aqui deve ser dado para computar numericamente. - Distribuição das
cargas pontuais: - Se a intenção é “igualmente espaçadas” sobre a área do disco (densidade uniforme), uma maneira simples e razoável é dividir o disco em
pequenas áreas iguais e colocar uma carga no centro de cada sub-área. Há várias estratégias práticas para isso:
a) Método por anéis e pontos angulares (determinístico e bom para poucos pontos): dividir o disco em vários anéis de áreas iguais e, em cada anel, posicionar pontos igualmente espaçados em ângulo. Por exemplo, escolheranéis e, para o anel , colocar pontos proporcionais à circunferência do anel para manter densidade uniforme. Ajustar e para que a soma dê .
b) Método de amostragem uniforme por área (fácil de programar): gerarpares com onde e . Isso produz uma distribuição uniforme sobre a área. Depois transformar para coordenadas cartesianas , . - Em ambos os casos cada ponto terá carga
.
- Se a intenção é “igualmente espaçadas” sobre a área do disco (densidade uniforme), uma maneira simples e razoável é dividir o disco em
- Cálculo do potencial por soma discreta:
- Pelo princípio da superposição, o potencial em
é
onde . - Como
, fica
- Pelo princípio da superposição, o potencial em
- Indicador de precisão e comparação:
- Calcule o valor analítico
. - Erro absoluto:
. Erro relativo: .
- Calcule o valor analítico
- Procedimento numérico em Python (esboço de código, legível e direto):
- Exemplo de pseudocódigo/Python:
import numpy as np def pontos_uniformes_disco(N, a): u = np.random.rand(N) # uniform(0,1) r = a * np.sqrt(u) # r distr. correta para área uniforme theta = 2*np.pi*np.random.rand(N) x = r * np.cos(theta) y = r * np.sin(theta) return r, x, y def potencial_discreto(r_array, z, Q, eps0): N = len(r_array) pref = Q / (4*np.pi*eps0 * N) return pref * np.sum(1.0 / np.sqrt(r_array**2 + z**2)) # Exemplo de uso (substitua Q,a,z,eps0): r,x,y = pontos_uniformes_disco(N=100, a=0.1) Vn = potencial_discreto(r, z=0.05, Q=1.0, eps0=8.854187817e-12)- Para menos variação no resultado aleatório (se usar amostragem randômica), repetir várias simulações e média dos
ou usar distribuição determinística (anéis) para estabilidade.
- Como proceder para
: - Repetir a geração de pontos e o cálculo para cada
. - Calcular erro relativo em relação ao valor analítico para cada
. - Fazer gráficos de
vs e do erro relativo vs para visualizar convergência.
- Repetir a geração de pontos e o cálculo para cada
- Escolha de dois valores de
: - Para comparar, escolha dois valores de
(por exemplo, pequeno e grande em relação à ). Exemplo didático (apenas ilustrativo, troque conforme necessidade): m e m, ou valores adimensionais relativos ao .
- Para comparar, escolha dois valores de
Passo 9
Discussão do que esperar nos resultados numéricos ao comparar com o analítico:
- Convergência com
: conforme aumenta, tende ao valor analítico . Para amostragem aleatória, o erro típico decai como (lei dos grandes números / erro estatístico). Com um arranjo determinístico (quadratura adequada, por exemplo anéis com pontos angulares bem escolhidos) a convergência pode ser muito mais rápida. - Dependência do ponto
: - Se
for pequeno (perto do disco), a contribuição de elementos próximos do centro é mais relevante; mal posicionamento de pontos na região central pode causar maior erro. - Se
for grande (muito além de ), já estamos no regime de monopolo e a soma converge mais rápido, porque cada ponto está aproximadamente à mesma distância , e diferenças locais têm menor efeito.
- Se
- Efeito do raio
: para fixo, aumentar espalha a carga e reduz ; portanto tende a diminuir para um fixo. Ao modelar numericamente, para discos muito grandes será necessário mais pontos para representar corretamente a distribuição superficial extensa.
Passo 10
Erros práticos e dicas para a prova/implementação:
- Se a prova pedir só o raciocínio, explique o procedimento de discretização e escreva a expressão discreta de
. - Em código real: usar vetorização (NumPy) para acelerar somas; cuidado com
muito pequeno (resultados ruidosos); para comparação, trabalhar com erro relativo e indicar número de repetições se usar amostragem aleatória. - Para uma aproximação determinística simples e estável com poucos pontos, use divisão em anéis de áreas iguais e distribua em cada anel um número de pontos proporcional à circunferência do anel — isso preserva uniformidade e reduz erro sistemático.
Resposta
(a)
para
.\n(b) Não é possível fornecer os valores numéricos pedidos porque o enunciado não especifica os valores numéricos de
, de
(posição do ponto
) nem de
. Forneci um algoritmo completo e instruções (distribuição das
cargas, fórmula discreta
, e critérios de comparação) que permitem calcular numericamente os resultados para
e comparar com o resultado analítico assim que os valores de
,
e
forem especificados.