Num vaso cilíndrico de raio 5 cm é colocado mercúrio até altura de 50 cm . Considerando que a densidade do mercúrio vale 13,6 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a pressão atmosférica igual a 10^{5} \mathrm{~Pa}, determine: (a) a pressão hidrostática do mercúrio no fundo do vaso; (b) a pressão total no fundo do vaso.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores diretamente do enunciado).
  • Raio do cilindro: r = 5\\ \mathrm{cm}.
  • Altura da coluna de mercúrio: h = 50\\ \mathrm{cm}.
  • Densidade do mercúrio: \rho = 13{,}6 \times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão atmosférica: p_{\text{atm}} = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede:
(a) a pressão hidrostática do mercúrio no fundo do vaso;
(b) a pressão total no fundo do vaso (ou seja, pressão atmosférica + pressão hidrostática).

Passo 2

Qual fórmula usar e o que cada símbolo significa.
A pressão hidrostática produzida por uma coluna de fluido de massa/volume uniforme é dada por
p_{\text{hid}}=\rho\,g\,h,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido em \mathrm{kg/m^{3}};
  • g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}} (vamos usar \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},);
  • h é a altura vertical da coluna de fluido em \mathrm{m}.
Comentário didático e importante: a pressão a uma certa profundidade depende apenas da altura vertical h da coluna de fluido, da densidade \rho e de g. Não depende da área do fundo nem do raio do cilindro — por isso o valor do raio r não entra no cálculo da pressão.
Também a pressão total no fundo é a soma da pressão atmosférica (que atua na superfície livre) com a pressão hidrostática:
p_{\text{tot}}=p_{\text{atm}}+p_{\text{hid}}.

Passo 3

Preparando as unidades e valores numéricos.
  • Converter a altura para metros: h = 50\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • A densidade já está em unidade SI: \rho = 13{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 13\,600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora vamos calcular \rho g passo a passo para facilitar:
\rho g = 13\,600 \times 9{,}8 = 133\,280\\ \mathrm{N/m^{3}}.
(A unidade \mathrm{kg/(m^3)}\cdot\mathrm{m/s^2}=\mathrm{N/m^3}. Ao multiplicar por h obteremos \mathrm{N/m^2}=\mathrm{Pa}.)

Passo 4

Cálculo da pressão hidrostática \,p_{\text{hid}}=\rho g h.
Usando os números:
p_{\text{hid}} = 133\,280 \times 0{,}50 = 66\,640\\ \mathrm{Pa}.
Em notação científica isso é
p_{\text{hid}}\approx 6{,}664\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondando com três algarismos significativos, compatível com os dados, p_{\text{hid}}\approx 6{,}66\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 5

Cálculo da pressão total no fundo: \,p_{\text{tot}}=p_{\text{atm}}+p_{\text{hid}}.
Somando:
p_{\text{tot}} = 10^{5} + 66\,640 = 166\,640\\ \mathrm{Pa}.
Em notação científica:
p_{\text{tot}}\approx 1{,}6664\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
ou arredondando a três algarismos significativos,
p_{\text{tot}}\approx 1{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) p_{\text{hid}} = 66\,640\\ \mathrm{Pa} \approx 6{,}66\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
(b) p_{\text{tot}} = 166\,640\\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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