Um bloco de madeira de massa específica 650 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e volume 2,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} é colocado em um recipiente com água (massa específica 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). O bloco flutua livremente.
Determine:
a) o volume da parte submersa do bloco;
b) a massa mínima de chumbo (massa específica 11300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) que deve ser fixada i topo do bloco para que ele fique completamente submerso, com a face superior nível da água.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas (peguei todos os números do enunciado):
  • Densidades:
    • madeira: \rho_{\text{madeira}} = 650\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}
    • água: \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á
    • chumbo: \rho_{\text{chumbo}} = 11300\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}
  • Volume do bloco de madeira: V_{\text{bloco}} = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}
  • O bloco flutua livremente inicialmente.
O enunciado pede:
(a) o volume da parte submersa do bloco quando ele está flutuando livremente;
(b) a massa mínima de chumbo que deve ser fixada no topo do bloco para que ele fique completamente submerso, com a face superior no nível da água.

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Princípio de Arquimedes: um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo para cima igual ao peso do fluido deslocado por ele. Em fórmula:
E = \rho_{\text{fluido}}\, g\, V_{\text{sub}},
onde:
  • E é o empuxo (N),
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (aqui água) em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}); como g aparece em ambos os lados das equações de equilíbrio, não precisaremos do seu valor numérico,
  • V_{\text{sub}} é o volume do corpo submerso (em \mathrm{m}^{3}).
  • Peso do corpo: é a massa vezes g. Se a massa do corpo for m, o peso é P = m g. A massa pode ser obtida a partir da densidade e do volume:
m = \rho \, V.
  • Condição de equilíbrio para flutuação estável (sem acelerar): empuxo = peso total. Se só houver o bloco:
\rho_{\text{água}}\, g\, V_{\text{sub}} = \rho_{\text{madeira}}\, g\, V_{\text{bloco}}.á
Note que o g cancela, então podemos trabalhar só com densidades e volumes.
Vou aplicar essas ideias passo a passo para (a) e (b).

Passo 3

Resolvendo (a): volume da parte submersa quando o bloco flutua livremente.
Equilíbrio entre empuxo e peso do bloco:
\rho_{\text{água}}\, g\, V_{\text{sub}} = \rho_{\text{madeira}}\, g\, V_{\text{bloco}}.á
Cancelando g em ambos os lados e isolando V_{\text{sub}}:
V_{\text{sub}} = \frac{\rho_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{água}}}\, V_{\text{bloco}}.á
Agora substituo os números (lembre-se que estou pegando estes valores do enunciado):
V_{\text{sub}} = \frac{650}{1000}\times 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Calcule passo a passo:
\frac{650}{1000} = 0,65,
0,65 \times 2,0\times10^{-3} = 1,30\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Portanto a parte submersa tem volume \;1,30\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Como entendimento extra (útil na prova): a fração do volume submersa é \rho_{\text{madeira}}/\rho_{\text{água}} = 0,65á, ou seja 65\% do volume está submerso e 35\% fica acima da superfície.

Passo 4

Preparação para (b): entender a situação quando o bloco fica completamente submerso com a face superior no nível da água.
Nesse caso o volume submerso é igual ao volume total do bloco:
V_{\text{sub}} = V_{\text{bloco}}.
A condição para o bloco ficar nesse estado “justamente submerso” é que o empuxo iguale o peso total (bloco + massa de chumbo adicionada). Escrevendo a equação do equilíbrio:
\rho_{\text{água}}\, g\, V_{\text{bloco}} = \bigl(m_{\text{bloco}} + m_{\text{chumbo}}\bigr) g.á
Cancela g e isola m_{\text{chumbo}}:
m_{\text{chumbo}} = \rho_{\text{água}}\, V_{\text{bloco}} - m_{\text{bloco}}.á
Também preciso do valor de m_{\text{bloco}}, que vem de \;m_{\text{bloco}}=\rho_{\text{madeira}}\, V_{\text{bloco}}.

Passo 5

Cálculo numérico para (b).
Primeiro a massa do bloco:
m_{\text{bloco}} = \rho_{\text{madeira}}\, V_{\text{bloco}} = 650 \times 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
Calcule:
650 \times 2,0\times10^{-3} = 1,30\\ \mathrm{kg}.
Agora a massa equivalente do fluido deslocado quando estiver totalmente submerso (que é a massa de água de volume igual ao bloco):
\rho_{\text{água}}\, V_{\text{bloco}} = 1000 \times 2,0\times10^{-3} = 2,00\\ \mathrm{kg}.á
Portanto a massa mínima de chumbo necessária é
m_{\text{chumbo}} = 2,00 - 1,30 = 0,70\\ \mathrm{kg}.
Comentário amigo e prático: esse é o valor mínimo porque, se tiver menos chumbo, o peso total será menor que o empuxo correspondente ao volume totalmente submerso, então o bloco não ficará totalmente submerso até a face superior ao nível da água. Com exatamente 0,70\\ \mathrm{kg} ele fica equilibrado com a face superior ao nível da água.
Opcional (checagem): o volume ocupado por esse chumbo seria
V_{\text{chumbo}} = \frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}} = \frac{0,70}{11300}\approx 6,19\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3},
que é bem pequeno comparado ao volume do bloco, então é razoável supor que o chumbo cabe no topo sem alterar muito a geometria.

Resposta

V_{\text{sub}} = 1,30\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}\n
m_{\text{chumbo}} = 0,70\\ \mathrm{kg}

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