Um bloco de madeira de massa específica
e volume
é colocado em um recipiente com água (massa específica
). O bloco flutua livremente.
Determine:
a) o volume da parte submersa do bloco;
b) a massa mínima de chumbo (massa específica
) que deve ser fixada i topo do bloco para que ele fique completamente submerso, com a face superior nível da água.
a) o volume da parte submersa do bloco;
b) a massa mínima de chumbo (massa específica
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas (peguei todos os números do enunciado):
- Densidades:
- madeira:
- água:
- chumbo:
- madeira:
- Volume do bloco de madeira:
- O bloco flutua livremente inicialmente.
O enunciado pede:
(a) o volume da parte submersa do bloco quando ele está flutuando livremente;
(b) a massa mínima de chumbo que deve ser fixada no topo do bloco para que ele fique completamente submerso, com a face superior no nível da água.
(a) o volume da parte submersa do bloco quando ele está flutuando livremente;
(b) a massa mínima de chumbo que deve ser fixada no topo do bloco para que ele fique completamente submerso, com a face superior no nível da água.
Passo 2
Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Princípio de Arquimedes: um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo para cima igual ao peso do fluido deslocado por ele. Em fórmula:
onde:
-
é o empuxo (N), -
é a densidade do fluido (aqui água) em , -
é a aceleração da gravidade (em ); como aparece em ambos os lados das equações de equilíbrio, não precisaremos do seu valor numérico, -
é o volume do corpo submerso (em ). -
Peso do corpo: é a massa vezes
. Se a massa do corpo for , o peso é . A massa pode ser obtida a partir da densidade e do volume:
- Condição de equilíbrio para flutuação estável (sem acelerar): empuxo = peso total. Se só houver o bloco:
Note que o
cancela, então podemos trabalhar só com densidades e volumes.
Vou aplicar essas ideias passo a passo para (a) e (b).
Passo 3
Resolvendo (a): volume da parte submersa quando o bloco flutua livremente.
Equilíbrio entre empuxo e peso do bloco:
Cancelando
em ambos os lados e isolando
:
Agora substituo os números (lembre-se que estou pegando estes valores do enunciado):
Calcule passo a passo:
Portanto a parte submersa tem volume
Como entendimento extra (útil na prova): a fração do volume submersa é
, ou seja
do volume está submerso e
fica acima da superfície.
Passo 4
Preparação para (b): entender a situação quando o bloco fica completamente submerso com a face superior no nível da água.
Nesse caso o volume submerso é igual ao volume total do bloco:
A condição para o bloco ficar nesse estado “justamente submerso” é que o empuxo iguale o peso total (bloco + massa de chumbo adicionada). Escrevendo a equação do equilíbrio:
Cancela
e isola
:
Também preciso do valor de
, que vem de
.
Passo 5
Cálculo numérico para (b).
Primeiro a massa do bloco:
Calcule:
Agora a massa equivalente do fluido deslocado quando estiver totalmente submerso (que é a massa de água de volume igual ao bloco):
Portanto a massa mínima de chumbo necessária é
Comentário amigo e prático: esse é o valor mínimo porque, se tiver menos chumbo, o peso total será menor que o empuxo correspondente ao volume totalmente submerso, então o bloco não ficará totalmente submerso até a face superior ao nível da água. Com exatamente
ele fica equilibrado com a face superior ao nível da água.
Opcional (checagem): o volume ocupado por esse chumbo seria
que é bem pequeno comparado ao volume do bloco, então é razoável supor que o chumbo cabe no topo sem alterar muito a geometria.