Numa experiência de difração em fenda dupla, uma das fendas é coberta com uma folha muito fina de um material translúcido de índice de refração n=1,49. O ponto central do anteparo fotográfico passa então a ser ocupado pelo que correspondia à quinta franja lateral brilhante (n=5).Sabendo que a luz monocromática utilizada possui comprimento de onda \lambda=540 \mathrm{~nm}, determine a espessura da folha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Uma das fendas é coberta por uma folha translúcida de índice de refração n_{\text{folha}}=1{,}49.
  • Após colocar a folha sobre uma fenda, o ponto central do anteparo passa a coincidir com aquilo que antes era a quinta franja lateral brilhante (o enunciado chama essa ordem de n=5; aqui vou chamar de m=5 para evitar confusão com o índice de refração).
  • O comprimento de onda da luz usada é \lambda=540\\ \mathrm{nm}.
  • O que se pede: determinar a espessura t da folha.

Passo 2

Entendendo o efeito físico (explicação didática e passo a passo do princípio envolvido).
  • Quando uma folha transparente de índice n_{\text{folha}} e espessura t é colocada sobre uma das fendas, a luz que passa por essa fenda sofre um aumento da “optical path length” (caminho óptico) em relação à luz que passa pela outra fenda.
  • O aumento do caminho óptico provocado pela folha, medido em comprimento de onda equivalente, é dado por
\Delta = (n_{\text{folha}}-1)\,t.
Aqui \Delta é a diferença de caminho óptico (em metros), n_{\text{folha}} é o índice da folha e t é a espessura da folha (em metros). A razão intuitiva é: dentro da folha a velocidade é c/n_{\text{folha}}, então atravessar espessura t equivale a atravessar no ar uma distância n_{\text{folha}} t; a diferença em relação ao ar é (n_{\text{folha}}-1)t.
  • Para interferência construtiva (franja brilhante) entre as duas fendas, a diferença de caminho óptico deve ser um múltiplo inteiro de \lambda, isto é
\Delta = m\,\lambda,
onde m é um número inteiro (a ordem da franja): m=0,\pm1,\pm2,\dots. O centro da tela, antes de inserir a folha, correspondia a m=0. Após inserir a folha, o centro passa a ocorrer quando a diferença de caminho for m\lambda.

Passo 3

Aplicando a condição ao enunciado.
  • O enunciado diz que o ponto central passa a ser ocupado pelo que correspondia à quinta franja brilhante, ou seja m=5. Isso significa que, no ponto central, a diferença de caminho introduzida pela folha é igual a 5\lambda. Em fórmulas:
(n_{\text{folha}}-1)\,t = m\,\lambda \quad\text{com}\quad m=5.

Passo 4

Isolando t e substituindo os valores (aqui faço conversão de unidades com calma).
  • Isolando t da equação anterior:
t = \frac{m\,\lambda}{\,n_{\text{folha}}-1\,}.
  • Substituindo m=5, \lambda=540\\ \mathrm{nm}=540\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} e n_{\text{folha}}=1{,}49:
t = \frac{5\cdot \bigl(540\times 10^{-9}\,\mathrm{m}\bigr)}{1{,}49-1} = \frac{5\cdot 540\times 10^{-9}\,\mathrm{m}}{0{,}49}.
  • Calculemos numericamente passo a passo:
5\cdot 540 = 2700, \qquad 2700\times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 2{,}700\times 10^{-6}\,\mathrm{m}.
t = \frac{2{,}700\times 10^{-6}\,\mathrm{m}}{0{,}49}\approx 5{,}51\times 10^{-6}\,\mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (pequena aula extra para fixar).
  • O resultado significa que a folha tem espessura da ordem de poucos micrômetros; isso é razoável para uma folha muito fina (películas finas têm espessuras nessa faixa).
  • Alternativa de pensamento: se a folha fosse com n_{\text{folha}}=1{,}5 e quisesse-se deslocar o máximo central para a m-ésima franja, a espessura necessária seria aproximadamente m\lambda/0{,}5 — mesma ideia aplicada com outros números.
  • Força aí! A ideia chave para a prova: colocar um fino meio sobre uma fenda adiciona um caminho óptico (n-1)t; para obter franja brilhante de ordem m basta que isso dê m\lambda. Isso é algo simples de lembrar e aplicar rapidamente.

Resposta

t = 5{,}51\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} = 5{,}51\\ \mu\mathrm{m}

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