Dois sistema massa-mola amortecidos tem as mesmas constantes de mola e de amortecimento. No entanto, a massa
do sistema A é quatro vezes a massa m do sistema B . Como se comparam os seus tempos de decaimento?
(
)
(
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (vou listá-las claramente):
- Dois sistemas massa-mola amortecidos têm a mesma constante de mola
. - As massas satisfazem
. - Os coeficientes de amortecimento satisfazem
. - A pergunta é: como se comparam os tempos de decaimento dos dois sistemas? Ou seja, queremos comparar o tempo característico de decaimento (constante de tempo)
do sistema A com do sistema B.
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido e explicando os termos:
O que cada símbolo significa:
-
é a massa do corpo. -
é o coeficiente de amortecimento (força de amortecimento proporcional à velocidade). -
é a constante da mola. -
é o deslocamento em função do tempo.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para estudar o decaimento da amplitude usamos a equação característica associada.
Passo 3
Resolver a equação característica e extrair a taxa de decaimento real:
Propondo solução do tipo , obtemos a equação característica
Propondo solução do tipo
As raízes são
Independentemente de subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido, a parte real das raízes é
Isso significa que a amplitude do movimento decai exponencialmente com fator
.
Passo 4
Definir o tempo de decaimento (constante de tempo) e a sua relação com
e
:
A constante de tempo de decaimento é o inverso da taxa de decaimento absoluta, isto é
A constante de tempo de decaimento
Interpretação física:
é o tempo característico em que a amplitude diminui por um fator aproximadamente
. Quanto maior
, mais devagar o sistema decai.
Passo 5
Calcular a razão entre os tempos de decaimento dos sistemas A e B usando
:
Substituindo os dados do enunciado
e
:
Passo 6
Interpretação final e comentário encorajador:
O resultado significa que o sistema A tem constante de tempo duas vezes maior que a do sistema B; em outras palavras, A decai duas vezes mais devagar que B. Isso faz sentido fisicamente: A é mais massivo (tende a armazenar mais inércia, aumentando
) e, embora tenha amortecimento maior, esse aumento do amortecimento não compensa totalmente o aumento da massa porque
só dobrou enquanto
quadruplicou. Força aí — essa conclusão é direta de
, que é uma fórmula simples e muito útil em provas.
O resultado