Dois sistema massa-mola amortecidos tem as mesmas constantes de mola e de amortecimento. No entanto, a massa \mathrm{m}_{\mathrm{A}} do sistema A é quatro vezes a massa m do sistema B . Como se comparam os seus tempos de decaimento?
( \mathbf{b}_{\mathbf{A}} \boldsymbol{=} \mathbf{2 \mathbf { b } _ { \mathbf { B } }} )

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listá-las claramente):
  • Dois sistemas massa-mola amortecidos têm a mesma constante de mola k.
  • As massas satisfazem \,m_A = 4 m_B.
  • Os coeficientes de amortecimento satisfazem \,b_A = 2 b_B.
  • A pergunta é: como se comparam os tempos de decaimento dos dois sistemas? Ou seja, queremos comparar o tempo característico de decaimento (constante de tempo) \tau_A do sistema A com \tau_B do sistema B.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido e explicando os termos:
m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k\,x = 0.
O que cada símbolo significa:
  • m é a massa do corpo.
  • b é o coeficiente de amortecimento (força de amortecimento proporcional à velocidade).
  • k é a constante da mola.
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo.
    Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para estudar o decaimento da amplitude usamos a equação característica associada.

Passo 3

Resolver a equação característica e extrair a taxa de decaimento real:
Propondo solução do tipo x(t)\propto e^{r t}, obtemos a equação característica
m r^2 + b r + k = 0.
As raízes são
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 m k}}{2m}.
Independentemente de subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido, a parte real das raízes é
\operatorname{Re}(r) = -\frac{b}{2m}.
Isso significa que a amplitude do movimento decai exponencialmente com fator \displaystyle e^{-\frac{b}{2m}t}.

Passo 4

Definir o tempo de decaimento (constante de tempo) e a sua relação com m e b:
A constante de tempo de decaimento \tau é o inverso da taxa de decaimento absoluta, isto é
\tau=\frac{1}{\left|\operatorname{Re}(r)\right|}=\frac{1}{\dfrac{b}{2m}}=\frac{2m}{b}.
Interpretação física: \tau é o tempo característico em que a amplitude diminui por um fator aproximadamente e. Quanto maior \tau, mais devagar o sistema decai.

Passo 5

Calcular a razão entre os tempos de decaimento dos sistemas A e B usando \tau=\dfrac{2m}{b}:
\frac{\tau_A}{\tau_B}=\frac{\dfrac{2m_A}{b_A}}{\dfrac{2m_B}{b_B}}=\frac{m_A}{m_B}\cdot\frac{b_B}{b_A}.
Substituindo os dados do enunciado \,m_A = 4 m_B e \,b_A = 2 b_B:
\frac{\tau_A}{\tau_B}=4\cdot\frac{1}{2}=2.

Passo 6

Interpretação final e comentário encorajador:
O resultado \dfrac{\tau_A}{\tau_B}=2 significa que o sistema A tem constante de tempo duas vezes maior que a do sistema B; em outras palavras, A decai duas vezes mais devagar que B. Isso faz sentido fisicamente: A é mais massivo (tende a armazenar mais inércia, aumentando \tau) e, embora tenha amortecimento maior, esse aumento do amortecimento não compensa totalmente o aumento da massa porque b_A só dobrou enquanto m_A quadruplicou. Força aí — essa conclusão é direta de \tau=2m/b, que é uma fórmula simples e muito útil em provas.

Resposta

\tau_A = 2\,\tau_B (o sistema A decai duas vezes mais devagar que o sistema B).

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