Um bloco de madeira, de massa M, apoiado numa superficie horizontal sem atrito, está ligado a uma haste rigida de comprimento L e massa desprezivel. A haste pode pivotar pela outra extremidade. Um projétil, com a massa m e a velocidade v, paralela à superficie e normal à haste, atinge o bloco de madeira, ficando nele incrustado.
Qual é a velocidade angular do sistema projétil-bloco logo após impacto?
Qual é a velocidade angular do sistema projétil-bloco logo após impacto?
Passo 1
Vamos resumir o que está acontecendo nessa questão. Temos um bloco de madeira com massa $ M $ apoiado em uma superfície horizontal sem atrito. Esse bloco está ligado a uma haste rígida de comprimento $ L $ e massa desprezível, que pode girar em torno de uma das extremidades. Um projétil de massa $ m $ e velocidade $ v $ atinge o bloco de madeira de forma perpendicular à haste e fica preso nele. Precisamos descobrir qual será a velocidade angular do sistema (bloco + projétil) imediatamente após o impacto.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de momento angular e conservação do momento angular. Isso porque o impacto entre o projétil e o bloco gera um momento angular que será conservado, já que não há forças externas atuando no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento angular. O momento angular ($ L
I
\omega $):
No caso de objetos que giram em torno de um eixo, o momento de inércia depende da distribuição da massa em relação a esse eixo.
Passo 3
Antes do impacto, apenas o projétil está em movimento e possui momento angular em relação ao ponto de pivô da haste. O bloco de madeira está inicialmente em repouso, então seu momento angular antes do impacto é zero.
O momento angular do projétil antes do impacto pode ser calculado como:
Aqui, $ L $ é a distância perpendicular do caminho do projétil até o eixo de rotação (comprimento da haste).
Passo 4
Após o impacto, o projétil fica incrustado no bloco, formando um sistema combinado com momento de inércia total. Vamos calcular esse momento de inércia.
Para o bloco de madeira, que está a uma distância $ L $ do eixo, o momento de inércia é:
Para o projétil, agora preso no bloco, o momento de inércia é:
Então, o momento de inércia total do sistema após o impacto é:
Passo 5
Como não há torque externo agindo no sistema durante o impacto, o momento angular total é conservado. Isso significa que o momento angular antes do impacto é igual ao momento angular após o impacto.
Então, temos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar a velocidade angular $ \omega $:
Simplificando $ L $:
Resposta
A velocidade angular do sistema projétil-bloco logo após o impacto é: