Um bloco de madeira, de massa M, apoiado numa superficie horizontal sem atrito, está ligado a uma haste rigida de comprimento L e massa desprezivel. A haste pode pivotar pela outra extremidade. Um projétil, com a massa m e a velocidade v, paralela à superficie e normal à haste, atinge o bloco de madeira, ficando nele incrustado.
Qual a fração da energia cinética inicial que é dissipada nessa colisão?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver ele. A gente tem um bloco de madeira com massa $ M $ apoiado em uma superfície sem atrito. Esse bloco está ligado a uma haste rígida de comprimento $ L $ que pode girar em torno de uma extremidade. Um projétil com massa $ m $ e velocidade $ v $ atinge o bloco e fica preso nele. A pergunta é: qual fração da energia cinética inicial do projétil é dissipada nessa colisão?
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de momento angular e energia cinética. Também vamos aplicar a conservação do momento angular porque não há torques externos agindo no sistema durante a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial do projétil antes da colisão. A energia cinética ($ KE $) é dada pela fórmula:
KE
Aqui, $ m $ é a massa do projétil e $ v $ é a velocidade dele.

Passo 3

Agora, após a colisão, o projétil fica preso no bloco. O sistema bloco + projétil começa a girar em torno da haste. Vamos precisar achar a energia cinética final desse sistema depois da colisão.
Primeiro, vamos usar a conservação do momento angular para encontrar a velocidade angular ($ \omega $) do sistema após a colisão.
O momento angular inicial do projétil em relação ao ponto de rotação (a extremidade da haste) é:
omega
Depois da colisão, o momento angular do sistema combinado (bloco + projétil) é:
Linicial = m v L
Pela conservação do momento angular:
Lfinal = (M + m) L^2 omega
Então:
Linicial = Lfinal
Podemos simplificar $ L $ e resolver para $ \omega $:
m v L = (M + m) L^2 omega

Passo 4

Com a velocidade angular $ \omega $ encontrada, vamos calcular a energia cinética final do sistema. A energia cinética de um objeto que gira é dada por:
omega
Onde $ I $ é o momento de inércia do sistema. Para o nosso caso, como a haste é massless e a massa está a uma distância $ L $ do ponto de rotação, o momento de inércia é:
KEfinal = 12 I omega^2
Substituindo $ I $ e $ \omega $:
I

Passo 5

Agora, podemos encontrar a fração da energia cinética dissipada durante a colisão. A energia dissipada é a diferença entre a energia cinética inicial e a final. A fração dissipada é:
Fração Dissipada = KEinicial - KEfinalKEinicial çã
Substituindo as expressões que encontramos:
Fração Dissipada = 12 m v^2 - 12 m^2 v^2M + m12 m v^2 = 1 - mM + m = MM + m çã

Resposta

A fração da energia cinética inicial que é dissipada na colisão é $ \frac{M}{M + m} $.

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