Um bloco de madeira, de massa M, apoiado numa superficie horizontal sem atrito, está ligado a uma haste rigida de comprimento L e massa desprezivel. A haste pode pivotar pela outra extremidade. Um projétil, com a massa m e a velocidade v, paralela à superficie e normal à haste, atinge o bloco de madeira, ficando nele incrustado.
Qual a fração da energia cinética inicial que é dissipada nessa colisão?
Qual a fração da energia cinética inicial que é dissipada nessa colisão?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver ele. A gente tem um bloco de madeira com massa $ M $ apoiado em uma superfície sem atrito. Esse bloco está ligado a uma haste rígida de comprimento $ L $ que pode girar em torno de uma extremidade. Um projétil com massa $ m $ e velocidade $ v $ atinge o bloco e fica preso nele. A pergunta é: qual fração da energia cinética inicial do projétil é dissipada nessa colisão?
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de momento angular e energia cinética. Também vamos aplicar a conservação do momento angular porque não há torques externos agindo no sistema durante a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial do projétil antes da colisão. A energia cinética ($ KE $) é dada pela fórmula:
Aqui, $ m $ é a massa do projétil e $ v $ é a velocidade dele.
Passo 3
Agora, após a colisão, o projétil fica preso no bloco. O sistema bloco + projétil começa a girar em torno da haste. Vamos precisar achar a energia cinética final desse sistema depois da colisão.
Primeiro, vamos usar a conservação do momento angular para encontrar a velocidade angular ($ \omega $) do sistema após a colisão.
O momento angular inicial do projétil em relação ao ponto de rotação (a extremidade da haste) é:
Depois da colisão, o momento angular do sistema combinado (bloco + projétil) é:
Pela conservação do momento angular:
Então:
Podemos simplificar $ L $ e resolver para $ \omega $:
Passo 4
Com a velocidade angular $ \omega $ encontrada, vamos calcular a energia cinética final do sistema. A energia cinética de um objeto que gira é dada por:
Onde $ I $ é o momento de inércia do sistema. Para o nosso caso, como a haste é massless e a massa está a uma distância $ L $ do ponto de rotação, o momento de inércia é:
Substituindo $ I $ e $ \omega $:
Passo 5
Agora, podemos encontrar a fração da energia cinética dissipada durante a colisão. A energia dissipada é a diferença entre a energia cinética inicial e a final. A fração dissipada é:
Substituindo as expressões que encontramos:
Resposta
A fração da energia cinética inicial que é dissipada na colisão é $ \frac{M}{M + m} $.