1. Considerando-se \mathrm{k}_{\mathrm{m}}=8 \mathrm{k}_{\mathrm{b}} e sabendo que a pré-carga é de 5 kN e a carga externa de 5,5 \mathrm{kN}, determine a tração resultante no parafuso e a compressão nas peças.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (peguei estes números do enunciado):
  • Relação entre rigidezes: \,k_{\mathrm{m}} = 8\,k_{\mathrm{b}}\,.
  • Pré-carga (força inicial no parafuso e na junção): \,F_0 = 5{,}0\\ \text{kN}\,.
  • Carga externa aplicada que tende a abrir a junta: \,P = 5{,}5\\ \text{kN}\,.
O que se pede:
  • A tração resultante no parafuso após aplicação da carga externa (ou seja, a força no parafuso depois).
  • A compressão resultante nas peças (força compressiva que ainda existe nas peças presas).

Passo 2

Modelo físico e ideias principais (explicação didática e sem pular etapas).
  • Vamos modelar o parafuso e as peças como duas molas lineares conectadas entre si: a mola do parafuso com rigidez \,k_{\mathrm{b}} e a mola equivalente das peças com rigidez \,k_{\mathrm{m}}.
  • A pré-carga \,F_0 gera uma tensão igual no parafuso e na peça antes da carga externa: ambos têm a mesma força \,F_0.
  • Ao aplicar a carga externa \,P que puxa a junta, a força no parafuso aumenta e a compressão nas peças diminui. Chamemos:
    • \,F_{\mathrm{b}} = força final no parafuso (tração).
    • \,F_{\mathrm{m}} = força final de compressão nas peças.
  • Equilíbrio estático da junta (razão física): a diferença entre a força no parafuso e a força nas peças é igual à carga externa:
F_{\mathrm{b}} - F_{\mathrm{m}} = P.
Explicação curta: o parafuso puxa para cima com F_{\mathrm{b}} e as peças comprimem para baixo com F_{\mathrm{m}}; a carga externa P é a diferença entre essas forças.

Passo 3

Compatibilidade de deformações (como relacionar variações de força com rigidez).
  • Quando a força no parafuso muda de \,F_0 para \,F_{\mathrm{b}}, a variação é \,\Delta F_{\mathrm{b}} = F_{\mathrm{b}} - F_0 e a elongação adicional do parafuso é
\Delta \delta_{\mathrm{b}} = \frac{\Delta F_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{b}}}.
  • Quando a compressão nas peças muda de \,F_0 para \,F_{\mathrm{m}}, a diminuição da força é \,\Delta F_{\mathrm{m}} = F_0 - F_{\mathrm{m}} e a variação de comprimento das peças (descompressão) é
\Delta \delta_{\mathrm{m}} = \frac{\Delta F_{\mathrm{m}}}{k_{\mathrm{m}}}.
  • Como a separação relativa entre as partes (ou seja, a diferença de alongamento do parafuso e da peça) corresponde exatamente a essas variações, a compatibilidade impõe que a elongação adicional do parafuso seja igual à descompressão das peças:
\Delta \delta_{\mathrm{b}} = \Delta \delta_{\mathrm{m}}.
Substituindo as expressões de cima:
\frac{F_{\mathrm{b}} - F_0}{k_{\mathrm{b}}} = \frac{F_0 - F_{\mathrm{m}}}{k_{\mathrm{m}}}.

Passo 4

Combinar equilíbrio e compatibilidade para encontrar a variação da força no parafuso.
  • Da equação de equilíbrio temos \,F_{\mathrm{m}} = F_{\mathrm{b}} - P.
  • Substituindo na equação de compatibilidade:
\frac{F_{\mathrm{b}} - F_0}{k_{\mathrm{b}}} = \frac{F_0 - (F_{\mathrm{b}} - P)}{k_{\mathrm{m}}} = \frac{- (F_{\mathrm{b}} - F_0) + P}{k_{\mathrm{m}}}.
  • Denotando \Delta F_{\mathrm{b}} = F_{\mathrm{b}} - F_0 (variação da força no parafuso), obtemos:
\frac{\Delta F_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{b}}} = \frac{-\Delta F_{\mathrm{b}} + P}{k_{\mathrm{m}}}.
  • Multiplicando ambos os lados por k_{\mathrm{b}} k_{\mathrm{m}} e rearranjando:
\Delta F_{\mathrm{b}}\,(k_{\mathrm{m}} + k_{\mathrm{b}}) = k_{\mathrm{b}}\,P.
  • Portanto a variação da força no parafuso é
\Delta F_{\mathrm{b}} = \frac{k_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{b}} + k_{\mathrm{m}}}\,P.
Comentário didático: essa fórmula diz que apenas uma fração da carga externa vai para o parafuso; a fração depende da razão entre a rigidez do parafuso e a rigidez total (parafuso + peças).

Passo 5

Aplicar a relação numérica \,k_{\mathrm{m}} = 8 k_{\mathrm{b}} e calcular \Delta F_{\mathrm{b}}.
  • Substituindo \,k_{\mathrm{m}} = 8 k_{\mathrm{b}} na fração:
\frac{k_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{b}} + k_{\mathrm{m}}} = \frac{k_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{b}} + 8k_{\mathrm{b}}} = \frac{1}{9}.
  • Então
\Delta F_{\mathrm{b}} = \frac{1}{9}\,P.
  • Com \,P = 5{,}5\\ \text{kN}:
\Delta F_{\mathrm{b}} = \frac{5{,}5}{9}\\ \text{kN} = 0{,}611\overline{1}\\ \text{kN}\\ (\text{aprox. }0{,}611\\ \text{kN}).

Passo 6

Calcular a tração final no parafuso \,F_{\mathrm{b}}.
  • Temos \,F_{\mathrm{b}} = F_0 + \Delta F_{\mathrm{b}}.
F_{\mathrm{b}} = 5{,}0\\ \text{kN} + 0{,}611\overline{1}\\ \text{kN} = 5{,}611\overline{1}\\ \text{kN}.
  • Arredondando de forma prática para duas casas decimais: \,F_{\mathrm{b}} \approx 5{,}61\\ \text{kN}.

Passo 7

Calcular a compressão final nas peças \,F_{\mathrm{m}}.
  • Usando o equilíbrio \,F_{\mathrm{m}} = F_{\mathrm{b}} - P:
F_{\mathrm{m}} = 5{,}611\overline{1}\\ \text{kN} - 5{,}5\\ \text{kN} = 0{,}111\overline{1}\\ \text{kN}.
  • Alternativamente usando a variação direta nas peças:
\Delta F_{\mathrm{m}} = \frac{k_{\mathrm{m}}}{k_{\mathrm{b}} + k_{\mathrm{m}}}\,P = \frac{8}{9}\,P = \frac{8\cdot5{,}5}{9} = 4{,}888\overline{8}\\ \text{kN},
e então F_{\mathrm{m}} = F_0 - \Delta F_{\mathrm{m}} = 5{,}0 - 4{,}888\overline{8} = 0{,}111\overline{1}\\ \text{kN}, consistente com acima.
  • Arredondando: \,F_{\mathrm{m}} \approx 0{,}11\\ \text{kN}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo (breve):
  • Resultado físico: como as peças são 8 vezes mais rígidas que o parafuso, apenas 1/9 da carga externa vai para o parafuso; por isso a pré-carga quase desaparece nas peças (fica muito pequena). Isso é bom saber na prova: rigidezes relativas controlam a partilha de carga.
  • Você conseguiu — respira! O procedimento é sempre o mesmo: escrever equilíbrio, escrever compatibilidade, combinar. Dá para repetir para qualquer k_{\mathrm{m}}/k_{\mathrm{b}}.

Resposta

F_{\mathrm{b}} = 5{,}611\overline{1}\\ \text{kN} \approx 5{,}61\\ \text{kN}
F_{\mathrm{m}} = 0{,}111\overline{1}\\ \text{kN} \approx 0{,}11\\ \text{kN}

Exercícios relacionados