Um bloco de massa 100 g, apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso à extremidade de uma mola de constante elástica 1,6 N/m, que tem a outra extremidade presa a um suporte vertical fixo. O bloco realiza movimento harmônico simples, e sua posição x é dada pela equação x = 0,20 • cos(4,0 • t + 0,80).
A máxima aceleração a que o bloco está sujeito nesse movimento tem módulo igual a
A máxima aceleração a que o bloco está sujeito nesse movimento tem módulo igual a
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos um bloco de 100 g preso a uma mola com constante elástica de 1,6 N/m, que está realizando um movimento harmônico simples (MHS). A posição do bloco é dada pela equação $ x = 0,20 \cdot \cos(4,0 \cdot t + 0,80) $. Precisamos encontrar a máxima aceleração que o bloco experimenta nesse movimento. Para isso, vamos usar as fórmulas do MHS e entender como a aceleração está relacionada à posição.
Passo 2
No movimento harmônico simples, a posição do objeto em função do tempo é dada por:
onde:
- $ A $ é a amplitude do movimento (a posição máxima)
- $ \omega $ é a frequência angular
- $ \phi $ é a fase inicial
No nosso caso, a equação é $ x = 0,20 \cdot \cos(4,0 \cdot t + 0,80) $, então:
- $ A = 0,20 $ m
- $ \omega = 4,0 $ rad/s
- $ \phi = 0,80 $ rad
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a posição em relação ao tempo duas vezes. A primeira derivada de $ x(t) $ nos dá a velocidade:
A segunda derivada nos dá a aceleração:
Passo 4
A máxima aceleração ocorre quando o cosseno é igual a 1 ou -1. Portanto, o módulo da máxima aceleração é:
Essa é a fórmula que vamos usar para encontrar a resposta final.
Passo 5
Agora, substituímos os valores que temos na fórmula:
Calculando o quadrado de $ \omega $:
Então:
Resposta
A máxima aceleração a que o bloco está sujeito nesse movimento é $ 3,2 , m/s^2 $.