Um bloco, de massa m=100 g, sujeito à ação de uma força externa ( FEXT.), é mantido em equilíbrio comprimindo uma mola ideal (k 1=20 N / m) de X1 =20 cm em relação a seu estado indeformado, estando o conjunto apoiado sobre uma superfície horizontal. Repentinamente, cessa a força externa e o bloco é empurrado pela mola, livrando-se de sua ação no exato momento em que a mola recupera seu comprimento natural. Neste processo, não há atrito. Entretanto, na sequência de seu movimento, o bloco desliza por d 1=0,5 m sobre um setor de superfície (horizontal) em que há atrito, caracterizado pelo coeficiente de atrito cinético muCIN cdot 1=0,3. Ao sair desse setor, vê-se mais uma vez livre de atrito, e escorrega até atingir outro patamar, horizontal, 1 m abaixo do anterior. Recuperando seu movimento exclusivamente horizontal, o bloco vai experimentar mais d 2=1 m de deslizamento com atrito (segundo setor) e, findo esse novo setor rugoso, atinge, livre de atrito, uma outra mola ideal ( k 2=150 N / m ), comprimindo-a de X 2=10 cm, quando pára, instantaneamente. Considere g=10 m / s^2.
Considerando o valor de muCIN 2 calculado no item anterior, qual é a extensão mínima do segundo setor de atrito necessária para impedir que o bloco atinja a segunda mola?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um bloco de 100 gramas preso por uma mola com constante elástica de 20 N/m, comprimida 20 cm. Quando a força externa para, a mola empurra o bloco sem atrito. Depois, o bloco passa por duas partes com atrito e finalmente atinge outra mola. Queremos descobrir qual deve ser o comprimento mínimo da segunda parte com atrito para que o bloco não chegue na segunda mola. Vamos usar conceitos de energia, trabalho e atrito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa do bloco é 100 g, que é 0,1 kg. A compressão inicial da mola é 20 cm, ou 0,2 m. A segunda mola tem constante 150 N/m e é comprimida 10 cm, ou 0,1 m.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial elástica armazenada na mola inicial quando está comprimida. A fórmula é:
U = 12 k x^2
Substituindo:
U1 = 12 times 20 times (0,2)^2 = 12 times 20 times 0,04 = 0,4 , J

Passo 4

Quando a mola libera o bloco, essa energia se transforma em energia cinética. Porém, o bloco passa por dois setores com atrito. Precisamos calcular a perda de energia nesses setores para garantir que ele não chegue na segunda mola.

Passo 5

A primeira parte do movimento sem atrito libera toda a energia. Então, a energia cinética inicial é igual à energia potencial da mola:
Ecin inicial = 0,4 , J

Passo 6

No primeiro setor com atrito, o bloco desliza 0,5 m com coeficiente de atrito cinético de 0,3. A força de atrito é:
Fatrito1 = muCIN1 times m times g = 0,3 times 0,1 times 10 = 0,3 , N
O trabalho realizado pela força de atrito é:
W1 = Fatrito1 times d1 = 0,3 times 0,5 = 0,15 , J

Passo 7

Depois disso, o bloco desce 1 m, perdendo energia potencial devido à gravidade. A perda de energia potencial é:
De
Como a energia cinética inicial era apenas 0,4 J, já temos um déficit de 0,6 J.

Passo 8

Para evitar que o bloco chegue na segunda mola, queremos que toda a energia inicial seja perdida nos atritos. Já perdemos 0,15 J no primeiro setor e 1 J na descida, totalizando 1,15 J.
Como a energia inicial era 0,4 J, para que não chegue na segunda mola, a energia perdida pelo atrito no segundo setor precisa absorver os 0,4 J.
Então:
W2 = muCIN2 times m times g times d2 >= 0,4 , J
Isolando $ d_2 $:
d2

Passo 9

Supondo que $ \mu_{CIN2} $ seja conhecido (vamos considerar que é 0,3 como no primeiro setor), substituímos:
muCIN2

Resposta

A extensão mínima do segundo setor de atrito necessária para impedir que o bloco atinja a segunda mola é aproximadamente 1,33 metros.

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