A posição de uma partícula num sistema de coordenadas O é medida em metros de acordo com a expressão
r=(6 t^2-4 t) i-3 t^3 j+3 k
(b) Demonstre que a aceleração da partícula é a mesma em ambos os sistemas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula em um sistema de coordenadas $ O $, dada pela expressão:
O
O que a parte (b) quer é que a gente mostre que a aceleração dessa partícula é a mesma em dois sistemas de coordenadas diferentes. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a aceleração a partir da posição usando derivadas e entender como a aceleração se comporta em diferentes sistemas de referência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a aceleração $ \vec{a} $, vamos derivar a posição $ \vec{r} $ duas vezes em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos fazer a primeira derivada de $ \vec{r} $ para encontrar a velocidade $ \vec{v} $:
r
Derivando termo a termo:
  • Para $ (6 t^{2} - 4 t) \hat{i} $, a derivada é $ (12 t - 4) \hat{i} $.
  • Para $ -3 t^{3} \hat{j} $, a derivada é $ -9 t^{2} \hat{j} $.
  • Para $ 3 \hat{k} $, a derivada é $ 0 $, já que é uma constante.
Então:
v

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade $ \vec{v} $ para encontrar a aceleração $ \vec{a} $:
v
Derivando termo a termo:
  • Para $ (12 t - 4) \hat{i} $, a derivada é $ 12 \hat{i} $.
  • Para $ -9 t^{2} \hat{j} $, a derivada é $ -18 t \hat{j} $.
Então:
a

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que essa aceleração é a mesma em ambos os sistemas de coordenadas. Para isso, vamos considerar as propriedades das transformações entre sistemas de referência.
Se estamos lidando com sistemas de coordenadas inerciais (ou seja, que não estão acelerando em relação um ao outro), a aceleração medida em um sistema será a mesma no outro. Isso porque, em sistemas inerciais, as leis de Newton se aplicam da mesma forma.

Passo 6

Portanto, como calculamos a aceleração $ \vec{a} = 12 \hat{i} - 18 t \hat{j} $ no sistema $ O $, e assumindo que o outro sistema também é inercial, a aceleração medida nesse segundo sistema será exatamente a mesma.

Resposta

A aceleração da partícula é $ \vec{a} = 12 \hat{i} - 18 t \hat{j} $ e é igual em ambos os sistemas de coordenadas.

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