Uma bloco de massa m=20 kg, acha-se em repouso na origem do eixo Ox , quando passa a agir sobre ele uma forca resultante F, paralela ao eixo. Sabendo que F se comporta de x=0 a 10,0 m, com intensidade constante e igual a 120 N ; E de x=10,0 m em diante, adquire uma intensidade que obedece à função F(x)=60 x-360.
Se a partir de x=18,0 m a força é retirada, e o bloco começa a comprimir uma mola de constante elástica k=200 N / m, qual a valor De de compressão da-mola?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um bloco de 20 kg que tá parado na origem do eixo Ox. De repente, uma força começa a agir sobre ele, paralela ao eixo. Essa força é constante de x=0 a x=10 m e depois muda conforme a função $ F(x) = 60x - 360 $ de x=10 m em diante. Quando o bloco chega a 18 m, essa força some e uma mola começa a comprimir. A mola tem uma constante elástica de $ k = 200 , N/m $. Nosso objetivo é descobrir quanto a mola vai se comprimir, ou seja, encontrar $ \Delta x $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o trabalho feito pela força constante de 120 N quando o bloco se move de x=0 a x=10 m. O trabalho ($ W $) feito por uma força constante é dado por:
W
onde $ F $ é a força e $ d $ é a distância.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
W1 = 120 , N times 10 , m = 1200 , J
Então, o trabalho feito nessa primeira parte é de 1200 Joules.

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho feito pela força variável $ F(x) = 60x - 360 $ de x=10 m a x=18 m. Para forças que variam com a posição, o trabalho é a integral da força em relação ao deslocamento:
F(x) = 60x - 360

Passo 5

Calculando a integral:
W2 = integral10^18 60x , dx - integral10^18 360 , dx = [30x^2]10^18 - [360x]10^18
W2 = (30 times 18^2 - 30 times 10^2) - (360 times 18 - 360 times 10)
W2 = (30 times 324 - 30 times 100) - (6480 - 3600) = (9720 - 3000) - (2880) = 6720 - 2880 = 3840 , J

Passo 6

O trabalho total realizado pela força é a soma dos dois trabalhos:
Wtotal = W1 + W2 = 1200 , J + 3840 , J = 5040 , J
Esse trabalho é igual à energia cinética que o bloco terá quando chegar a 18 m.

Passo 7

Usando o teorema do trabalho e energia, temos:
Wtotal = 12 m v^2
Queremos encontrar a velocidade $ v $ no ponto onde a força é retirada.
Arrumando para $ v $:
v

Passo 8

Agora, quando a força é retirada, o bloco começa a comprimir a mola. A energia cinética do bloco será transformada em energia potencial elástica da mola:
12 m v^2 = 12 k (De
Podemos cancelar o $ \frac{1}{2} $ dos dois lados e resolver para $ \Delta x $:
12

Resposta

Substituindo os valores:
De
Então, a mola vai se comprimir aproximadamente 7,1 metros.

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