Um bloco de massa 2M desliza sobre uma superficie sem atrito sob a ação de uma força F. Sobre este bloco está um segundo bloco, este com massa M, que se move juntamente com o corpo de baixo sem deslizar. Considerando o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos vale \mu, determine
a) o diagrama de forças em cada bloco, separadamente. Especifique cada uma destas forças;
b) a força máxima F a ser aplicada de maneira que os blocos não deslizem entre si.

Passo 1

O enunciado descreve dois blocos em contato, sobre uma superfície sem atrito: um bloco de massa \,2M, (bloco inferior) recebe uma força horizontal externa \,F, e sobre ele está um bloco de massa \,M, (bloco superior) que se move junto com o bloco de baixo sem deslizar entre si. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é \mu. O que se pede:
  • (a) o diagrama de forças agindo em cada bloco, separadamente, e especificar cada força;
  • (b) o valor máximo de \,F, para que os blocos não deslizem entre si.
    Informações relevantes dadas:
  • massas: \,m_{\text{top}}=M e \,m_{\text{bot}}=2M;
  • superfície inferior é sem atrito (logo nenhuma força horizontal do chão sobre o bloco inferior);
  • coeficiente de atrito estático entre blocos: \mu;
  • aceleração da gravidade: \,g;
  • os blocos se movem juntos (condição de não deslizamento) enquanto a força aplicada não exceder um limite.

Passo 2

Forças no bloco superior (massa \,M) — identificação e direção:
  • Peso: \; força da gravidade para baixo, de magnitude \; \,M g. Isto é a força que a Terra exerce sobre o bloco superior.
  • Normal da superfície do bloco inferior sobre o bloco superior: \; força vertical para cima, de magnitude \; N_{\text{top}}. Como não há aceleração vertical do bloco superior (ele permanece apoiado), a normal equilibra o peso. Portanto:
N_{\text{top}} = M g.
  • Atrito estático entre os blocos: \; força horizontal que permite ao bloco superior acompanhar o movimento do inferior. Se a força \,F, puxa o bloco inferior para a direita, o bloco inferior tende a “escorregar para baixo” sob o bloco superior, de modo que, para que o superior acompanhe, a força de atrito estática sobre o bloco superior aponta para a direita (isto acelera o bloco superior). Denotamos essa força por \,f (direção: para a direita).
Comentário didático rápido: atrito estático é a força que impede o deslizamento relativo; sua direção é tal que tende a eliminar o movimento relativo entre as superfícies em contato. A máxima força de atrito estático possível é \,f_{s,\max}=\mu N.

Passo 3

Forças no bloco inferior (massa \,2M) — identificação e direção:
  • Peso do bloco inferior: para baixo, magnitude \;2M g.
  • Normal do bloco superior sobre o bloco inferior: para baixo, magnitude igual a \;N_{\text{top}}=M g (a terceira lei de Newton: a normal que o superior exerce sobre o inferior é igual e oposta à normal que o inferior exerce sobre o superior).
  • Normal do chão sobre o bloco inferior: para cima, denotada \;N_{\text{chão}}ã. Como não há aceleração vertical do conjunto, a soma das forças verticais é zero. Assim:
N_{\text{chão}} = 2M g + M g = 3M g.ã
  • Força externa aplicada: \;F, horizontal para a direita (conforme enunciado).
  • Atrito estático exercido pelo bloco superior sobre o bloco inferior: \;f, horizontal para a esquerda (oposta à força de atrito sobre o bloco superior, pela terceira lei). Não há atrito entre o bloco inferior e o chão (superfície sem atrito), então estas são as únicas forças horizontais no bloco inferior.

Passo 4

Escrevendo as equações de movimento (segunda lei de Newton) na direção horizontal, assumindo que ambos aceleram juntos com aceleração \,a, para a direita:
  • Para o bloco superior (massa \,M):
\sum F_x = M a \quad\Rightarrow\quad f = M a.
Aqui f é a força de atrito que age sobre o bloco superior para a direita; ela é a única força horizontal sobre esse bloco.
  • Para o bloco inferior (massa \,2M):
\sum F_x = 2M a \quad\Rightarrow\quad F - f = 2M a.
Aqui as forças horizontais são F para a direita e f para a esquerda.

Passo 5

Resolver o sistema para \,a, e \,f, em função de \,F, e \,M:
  • Da equação do bloco superior: f = M a.
  • Substituindo em F - f = 2M a dá:
F - M a = 2M a \quad\Rightarrow\quad F = 3M a.
  • Assim a aceleração comum é
a = \frac{F}{3M}.
  • E a força de atrito necessária para acelerar o bloco superior é
f = M a = M\cdot\frac{F}{3M} = \frac{F}{3}.
Comentário didático: estas contas mostram que, quando os blocos se movem juntos, a força aplicada é “distribuída” para acelerar as três massas equivalentes (no caso total 3M), e a fração que aparece como atrito é a parte necessária para acelerar a massa do bloco superior.

Passo 6

Condição de não deslizamento: a força de atrito necessária f não pode exceder a força máxima de atrito estático disponível entre as superfícies. A máxima força de atrito estático é
f_{s,\max} = \mu N_{\text{top}} = \mu (M g).
Portanto a condição é
f \le f_{s,\max} \quad\Rightarrow\quad \frac{F}{3} \le \mu M g.

Passo 7

Isolando \,F, na desigualdade anterior, obtemos a força máxima que pode ser aplicada sem que ocorra deslizamento:
F \le 3 \mu M g.
Logo o limite crítico é
F_{\text{máx}} = 3 \mu M g.á
Pequena checagem de coerência: se \mu for pequeno, F_{\text{máx}}á é pequeno; se \mu aumenta, podemos puxar mais sem que o bloco superior deslize — faz sentido físico.

Resposta

a) Bloco superior (massa \,M) — forças: peso \;M g para baixo; normal do bloco inferior para cima \;N_{\text{top}}=M g; atrito estático horizontal para a direita \;f=\dfrac{F}{3} (quando se movem juntos).
Bloco inferior (massa \,2M) — forças: peso \;2M g para baixo; normal do bloco superior para baixo \;N_{\text{top}}=M g; normal do chão para cima \;N_{\text{chão}}=3M gã; força externa \;F para a direita; atrito estático do bloco superior para a esquerda \;f=\dfrac{F}{3}.
b) \;F_{\max}=3\mu M g

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