Um bloco de massa 2M desliza sobre uma superficie sem atrito sob a ação de uma força F. Sobre este bloco está um segundo bloco, este com massa M, que se move juntamente com o corpo de baixo sem deslizar. Considerando o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos vale
, determine
a) o diagrama de forças em cada bloco, separadamente. Especifique cada uma destas forças;
b) a força máxima F a ser aplicada de maneira que os blocos não deslizem entre si.
a) o diagrama de forças em cada bloco, separadamente. Especifique cada uma destas forças;
b) a força máxima F a ser aplicada de maneira que os blocos não deslizem entre si.
Passo 1
O enunciado descreve dois blocos em contato, sobre uma superfície sem atrito: um bloco de massa
, (bloco inferior) recebe uma força horizontal externa
, e sobre ele está um bloco de massa
, (bloco superior) que se move junto com o bloco de baixo sem deslizar entre si. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é
. O que se pede:
- (a) o diagrama de forças agindo em cada bloco, separadamente, e especificar cada força;
- (b) o valor máximo de
, para que os blocos não deslizem entre si.
Informações relevantes dadas: - massas:
e ; - superfície inferior é sem atrito (logo nenhuma força horizontal do chão sobre o bloco inferior);
- coeficiente de atrito estático entre blocos:
; - aceleração da gravidade:
; - os blocos se movem juntos (condição de não deslizamento) enquanto a força aplicada não exceder um limite.
Passo 2
Forças no bloco superior (massa
) — identificação e direção:
- Peso:
força da gravidade para baixo, de magnitude . Isto é a força que a Terra exerce sobre o bloco superior. - Normal da superfície do bloco inferior sobre o bloco superior:
força vertical para cima, de magnitude . Como não há aceleração vertical do bloco superior (ele permanece apoiado), a normal equilibra o peso. Portanto:
- Atrito estático entre os blocos:
força horizontal que permite ao bloco superior acompanhar o movimento do inferior. Se a força , puxa o bloco inferior para a direita, o bloco inferior tende a “escorregar para baixo” sob o bloco superior, de modo que, para que o superior acompanhe, a força de atrito estática sobre o bloco superior aponta para a direita (isto acelera o bloco superior). Denotamos essa força por (direção: para a direita).
Comentário didático rápido: atrito estático é a força que impede o deslizamento relativo; sua direção é tal que tende a eliminar o movimento relativo entre as superfícies em contato. A máxima força de atrito estático possível é
.
Passo 3
Forças no bloco inferior (massa
) — identificação e direção:
- Peso do bloco inferior: para baixo, magnitude
. - Normal do bloco superior sobre o bloco inferior: para baixo, magnitude igual a
(a terceira lei de Newton: a normal que o superior exerce sobre o inferior é igual e oposta à normal que o inferior exerce sobre o superior). - Normal do chão sobre o bloco inferior: para cima, denotada
. Como não há aceleração vertical do conjunto, a soma das forças verticais é zero. Assim:
- Força externa aplicada:
, horizontal para a direita (conforme enunciado). - Atrito estático exercido pelo bloco superior sobre o bloco inferior:
, horizontal para a esquerda (oposta à força de atrito sobre o bloco superior, pela terceira lei). Não há atrito entre o bloco inferior e o chão (superfície sem atrito), então estas são as únicas forças horizontais no bloco inferior.
Passo 4
Escrevendo as equações de movimento (segunda lei de Newton) na direção horizontal, assumindo que ambos aceleram juntos com aceleração
, para a direita:
- Para o bloco superior (massa
):
Aqui
é a força de atrito que age sobre o bloco superior para a direita; ela é a única força horizontal sobre esse bloco.
- Para o bloco inferior (massa
):
Aqui as forças horizontais são
para a direita e
para a esquerda.
Passo 5
Resolver o sistema para
, e
, em função de
, e
:
- Da equação do bloco superior:
. - Substituindo em
dá:
- Assim a aceleração comum é
- E a força de atrito necessária para acelerar o bloco superior é
Comentário didático: estas contas mostram que, quando os blocos se movem juntos, a força aplicada é “distribuída” para acelerar as três massas equivalentes (no caso total
), e a fração que aparece como atrito é a parte necessária para acelerar a massa do bloco superior.
Passo 6
Condição de não deslizamento: a força de atrito necessária
não pode exceder a força máxima de atrito estático disponível entre as superfícies. A máxima força de atrito estático é
Portanto a condição é
Passo 7
Isolando
, na desigualdade anterior, obtemos a força máxima que pode ser aplicada sem que ocorra deslizamento:
Logo o limite crítico é
Pequena checagem de coerência: se
for pequeno,
é pequeno; se
aumenta, podemos puxar mais sem que o bloco superior deslize — faz sentido físico.
Resposta
a) Bloco superior (massa
) — forças: peso
para baixo; normal do bloco inferior para cima
; atrito estático horizontal para a direita
(quando se movem juntos).
Bloco inferior (massa ) — forças: peso
para baixo; normal do bloco superior para baixo
; normal do chão para cima
; força externa
para a direita; atrito estático do bloco superior para a esquerda
.
Bloco inferior (massa
b)