Diurno
(c) Uma esfera condutora possui uma cavidade em seu interior. No instante t_{1} a esfera tem um excesso de carga +Q. Coloca-se uma carga -q num ponto no interior da cavidade e após o equilibrio eletrostático mede-se o instante t_{2}. Determine a razão das densidades de cargas na superfície da esfera nos instantes de tempo t_{1} e t_{2} repectivamente.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora com uma cavidade interna. As informações relevantes são:
  • No instante t_{1} a esfera tem um excesso de carga +Q.
  • Depois, coloca-se uma carga pontual -q em um ponto dentro da cavidade (essa carga está no interior da cavidade, mas não é parte do condutor).
  • Aguarda-se o equilíbrio eletrostático e mede-se no instante t_{2}.
    A pergunta pede que determinemos a razão das densidades de carga na superfície externa da esfera nos instantes t_{1} e t_{2} (ou seja, os valores das densidades de superfície nesses instantes e a relação entre eles).

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar, como um amigo explicando):
  • Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é nulo: \mathbf{E}=0 no volume do condutor. Isso significa que o potencial é constante em toda a massa do condutor.
  • Toda carga em excesso de um condutor em equilíbrio fica sobre as superfícies (não no interior do metal).
  • Se há uma cavidade com uma carga dentro dela (não ligada ao condutor), essa carga provoca cargas induzidas na superfície interna da cavidade de modo que, no metal, o campo resultante continue nulo.
  • A densidade superficial de carga é definida por \sigma=\dfrac{\text{carga total sobre a superfície}}{\text{área dessa superfície}}íáí.
Vou agora aplicar essas ideias passo a passo ao nosso problema.

Passo 3

Determinar como se distribuem as cargas depois que a carga -q é colocada na cavidade.
Primeiro, usemos um argumento com uma superfície gaussiana imaginária que fica dentro do material do condutor, imediatamente por fora da superfície interna da cavidade. Como estamos no interior do condutor material, em equilíbrio eletrostático o campo \mathbf{E}=0 nessa região. Pela lei de Gauss, o fluxo zero implica que a soma das cargas encerradas por essa superfície gaussiana deve ser zero. As cargas encerradas são:
  • a carga pontual colocada na cavidade, que vale -q,
  • mais a carga que aparece na superfície interna da cavidade (a carga induzida nessa superfície).
Portanto, se chamarmos de Q_{\text{interna}} a carga total na superfície interna da cavidade, temos
Q_{\text{interna}} + (-q) = 0.
Isso dá
Q_{\text{interna}} = +q.
Interpretação física: uma carga negativa -q no interior atrai cargas positivas para as paredes da cavidade — a superfície interna adquire carga +q.

Passo 4

Conservação da carga do condutor e carga na superfície externa.
A carga total do condutor (excesso que ele tinha) permanece +Q; a carga -q colocada na cavidade não foi transferida para o condutor (ela está dentro da cavidade, mas não é carga do material condutor). Portanto, a soma das cargas nas superfícies do condutor (superfície interna da cavidade mais superfície externa) deve ser igual a +Q:
Q_{\text{interna}} + Q_{\text{externa}} = Q.
Já achamos Q_{\text{interna}}=+q. Logo
Q_{\text{externa}} = Q - Q_{\text{interna}} = Q - q.
Comentário físico: parte da carga positiva do exterior foi “movida” para a parede interna para neutralizar parcialmente o efeito da carga negativa -q. O que sobra na superfície externa é Q-q.

Passo 5

Uniformidade da densidade na superfície externa: por que podemos escrever \sigma = \dfrac{\text{carga externa}}{\text{área}}á?
A superfície externa da esfera é esférica. Num condutor esférico (forma perfeitamente simétrica) em equilíbrio eletrostático, a superfície do condutor é um equipotencial e, por simetria, a distribuição de carga na superfície externa é uniforme (mesma densidade superficial em toda a esfera). Mesmo que a carga na cavidade esteja fora do centro, o condutor ajusta as cargas internas de modo que a superfície externa do casaco esférico continue equipotencial com distribuição uniforme (única solução compatível com a simetria da superfície externa). Portanto a densidade superficial externa é simplesmente a carga total na superfície externa dividida pela área da esfera.
Se a esfera externa tem raio R, sua área é
A = 4\pi R^{2}.

Passo 6

Calcular explicitamente as densidades em t_{1} e t_{2}.
No instante t_{1} (antes de inserir a carga na cavidade) toda a carga +Q está na superfície externa. Assim a densidade superficial nessa superfície é
\boxed{\sigma(t_{1})=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}.}
No instante t_{2} (após colocar a carga -q dentro da cavidade e aguardar equilíbrio) a carga total na superfície externa é Q_{\text{externa}}=Q-q. Assim a densidade superficial externa passa a ser
\boxed{\sigma(t_{2})=\dfrac{Q-q}{4\pi R^{2}}.}

Passo 7

Calcular a razão entre as densidades nos instantes t_{1} e t_{2}.
A razão \dfrac{\sigma(t_{1})}{\sigma(t_{2})} é
\frac{\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}}{\dfrac{Q-q}{4\pi R^{2}}}=\frac{Q}{Q-q}.
(As áreas cancelam porque a superfície externa não mudou.)

Resposta

\sigma(t_{1})=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}
\sigma(t_{2})=\dfrac{Q-q}{4\pi R^{2}}
\dfrac{\sigma(t_{1})}{\sigma(t_{2})}=\dfrac{Q}{\,Q-q\,}

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