Diurno
(a) Num experimento um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado, é conectado a uma bateria. Depois de um longo intervalo de tempo a distância entre as placas do capacitor é diminuida por um fator de 3 . Estime a razão entre as cargas na placa do capacitor instantes antes de alterar a distância e minutos após a realização essa mudança.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas que, inicialmente descarregado, é conectado a uma bateria. Depois de um longo intervalo de tempo a distância entre as placas é reduzida por um fator de 3.
Pergunta: estime a razão entre as cargas na placa do capacitor instantes antes de alterar a distância e minutos (i.e., muito tempo) após essa mudança.
Informações relevantes fornecidas:
  • O capacitor é de placas paralelas (área das placas A, separação inicial d).
  • O capacitor está conectado a uma bateria (tensão constante V).
  • A separação entre placas é reduzida para d/3.
  • “Instantes antes” significa o estado estacionário antes da mudança; “minutos após” significa o novo estado estacionário bem depois da mudança.

Passo 2

Vamos lembrar a definição que relaciona carga, capacitância e tensão. A fórmula básica é
Q = C\,V
onde Q é a carga na placa (módulo), C é a capacitância do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas (a tensão da bateria).
Explique o que cada símbolo significa: Q é em coulombs, C em farads, V em volts. Essa relação vale sempre em regime eletrostático quando a tensão entre placas é V.

Passo 3

Precisamos da expressão da capacitância de um capacitor de placas paralelas. Para placas planas de área A separadas por distância d (com vácuo entre elas, ou meio com permissividade \varepsilon), a capacitância é
C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui eu uso \varepsilon_0 supondo vácuo/ ar entre as placas; se houvesse outro dielétrico substituiríamos por \varepsilon. Expliquei: quanto maior a área A, maior C; quanto maior a separação d, menor C.

Passo 4

Porque o capacitor fica conectado à bateria durante toda a experiência, a tensão entre as placas permanece igual à tensão da bateria antes e depois da mudança (a bateria impõe V constante). Portanto, o que muda ao reduzir d é C, e a carga ajusta-se segundo Q=C\,V. Também é por isso que consideramos estados estacionários (tempo suficiente antes e depois) — para garantir que a carga tenha relaxado para o novo valor.

Passo 5

Calculemos a nova capacitância após reduzir a separação para d/3. Denotando a capacitância inicial por C e a final por C', temos:
C = \varepsilon_0\frac{A}{d}, \qquad C' = \varepsilon_0\frac{A}{d/3} = \varepsilon_0\frac{A}{d}\cdot 3 = 3C.
Ou seja, a capacitância aumenta por um fator 3 quando a distância é reduzida por 3.

Passo 6

Usando Q=C\,V, a carga antes da mudança é
Q_{\text{antes}} = C\,V,
e a carga no novo estado estacionário (minutos depois) é
Q_{\text{depois}} = C'\,V = (3C)\,V = 3(C\,V) = 3Q_{\text{antes}}.
Expliquei: a bateria fornece carga adicional até que a nova capacitância equilibrada gere V novamente.

Passo 7

Portanto a razão pedida (carga instantes antes dividido pela carga muito depois) é
\frac{Q_{\text{antes}}}{Q_{\text{depois}}}=\frac{Q_{\text{antes}}}{3Q_{\text{antes}}}=\frac{1}{3}.
Interpretação física curta: com placa mais próxima, o capacitor guarda mais carga para manter a mesma tensão; a bateria fornece essa carga.

Resposta

\displaystyle \frac{Q_{\text{antes}}}{Q_{\text{depois}}}=\frac{1}{3}

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