Um bloco com massa igual a
está submetido a uma força restauradora elástica e a constante de força é igual a
bloco ínicia o movimento oscilatório com uma velocidade de
e uma compressão de
.
(a) Qual a amplitude da oscilação?
(b) Deduza expressōes para o deslocamento e a velocidade do bloco em funçùo do tempo.
(a) Qual a amplitude da oscilação?
(b) Deduza expressōes para o deslocamento e a velocidade do bloco em funçùo do tempo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dado:
Pedidos:
- (a) Determinar a amplitude da oscilação.
- (b) Deduuzir expressões para o deslocamento
e para a velocidade do bloco em função do tempo.
Observação: vou tomar
medido a partir da posição de equilíbrio; a compressão inicial de
significa que, no instante
, temos
. A velocidade inicial é
. Não preciso de mais dados; com esses já dá para obter amplitude, frequência e fase.
Passo 2
Conceito físico e fórmula útil para a amplitude (aula rápida, sem pânico): num oscilador massa-mola ideal (sem atrito) a energia mecânica total é constante e é soma da energia cinética e da energia potencial elástica. Escrevendo:
energia cinética:
energia potencial elástica:
A energia total
em qualquer instante vale
onde
é a amplitude máxima (porque no máximo a energia é totalmente potencial:
). No instante inicial
conhecemos
e
, então
Igualando as duas expressões para
obtemos uma fórmula direta para
. Aqui explique cada variável:
é constante elástica,
massa,
deslocamento inicial medido do equilíbrio,
velocidade inicial e
amplitude que queremos.
Passo 3
Derivação algébrica da fórmula da amplitude (passo a passo):
Começamos com
Começamos com
Multiplicando por
e isolando
:
Portanto a fórmula útil é
Essa expressão é muito prática na prova: energia inicial (potencial + cinética) transforma-se na amplitude.
Passo 4
Cálculo numérico da amplitude usando os valores dados (faça as contas comigo):
Calcule primeiro cada termo:
Calcule primeiro cada termo:
Somando:
Logo
Arredondando com consistência (dados com 3 algarismos significativos), podemos usar
Passo 5
Agora precisamos das expressões temporais. Para um sistema massa-mola sem amortecimento a solução geral do deslocamento é harmônica simples:
onde:
-
é a frequência angular, -
é a fase inicial (ângulo de fase) que ajustamos pelas condições iniciais.
A velocidade é a derivada temporal:
Explique cada símbolo:
(porque a equação diferencial é
);
é tal que
e
.
Passo 6
Calcule a frequência angular
:
(Arredondei para
se quiser 3 algarismos).
Passo 7
Determine a fase
a partir das condições iniciais. Use
Calcule numericamente:
Verificação rápida:
— ok, coerente.
Agora obtenha
usando a função arco-tangente com o par (sen, cos) para preservar o quadrante:
(em graus isso dá aproximadamente
). Então a fase inicial é
.
Passo 8
Escreva as expressões finais para
e
, substituindo
,
e
com os valores calculados. Lembre-se que a velocidade vem da derivada da função cosseno:
Substituindo numericamente (mantendo coerência de algarismos significativos):
Portanto:
Calcule o coeficiente da velocidade:
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