Um bloco com massa igual a 0,200 \mathrm{~kg} está submetido a uma força restauradora elástica e a constante de força é igual a 10,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \mathrm{O} bloco ínicia o movimento oscilatório com uma velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e uma compressão de 0,3 \mathrm{~m}.
(a) Qual a amplitude da oscilação?
(b) Deduza expressōes para o deslocamento e a velocidade do bloco em funçùo do tempo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dado:
m=0{,}200\\ \mathrm{kg},\qquad k=10{,}0\\ \mathrm{N/m},
x(0)=0{,}300\\ \mathrm{m}\\ (\text{compressão no instante inicial}),\qquad v(0)=2{,}00\\ \mathrm{m/s}.ã
Pedidos:
  1. (a) Determinar a amplitude da oscilação.
  2. (b) Deduuzir expressões para o deslocamento x(t) e para a velocidade v(t) do bloco em função do tempo.
Observação: vou tomar x(t) medido a partir da posição de equilíbrio; a compressão inicial de 0{,}300\\ \mathrm{m} significa que, no instante t=0, temos x(0)=0{,}300\\ \mathrm{m}. A velocidade inicial é v(0)=2{,}00\\ \mathrm{m/s}. Não preciso de mais dados; com esses já dá para obter amplitude, frequência e fase.

Passo 2

Conceito físico e fórmula útil para a amplitude (aula rápida, sem pânico): num oscilador massa-mola ideal (sem atrito) a energia mecânica total é constante e é soma da energia cinética e da energia potencial elástica. Escrevendo:
energia cinética:
T=\tfrac{1}{2}m v^2,
energia potencial elástica:
U=\tfrac{1}{2}k x^2.
A energia total E em qualquer instante vale
E=\tfrac{1}{2}k A^2,
onde A é a amplitude máxima (porque no máximo a energia é totalmente potencial: U_{\max}=\tfrac{1}{2}k A^2). No instante inicial t=0 conhecemos x(0) e v(0), então
E=\tfrac{1}{2}k x(0)^2+\tfrac{1}{2}m v(0)^2.
Igualando as duas expressões para E obtemos uma fórmula direta para A. Aqui explique cada variável: k é constante elástica, m massa, x(0) deslocamento inicial medido do equilíbrio, v(0) velocidade inicial e A amplitude que queremos.

Passo 3

Derivação algébrica da fórmula da amplitude (passo a passo):
Começamos com
\tfrac{1}{2}k A^2=\tfrac{1}{2}k x(0)^2+\tfrac{1}{2}m v(0)^2.
Multiplicando por 2 e isolando A^2:
k A^2=k x(0)^2+m v(0)^2
A^2=x(0)^2+\frac{m}{k}\,v(0)^2.
Portanto a fórmula útil é
A=\sqrt{x(0)^2+\frac{m}{k}\,v(0)^2}.
Essa expressão é muito prática na prova: energia inicial (potencial + cinética) transforma-se na amplitude.

Passo 4

Cálculo numérico da amplitude usando os valores dados (faça as contas comigo):
Calcule primeiro cada termo:
x(0)^2=(0{,}300)^2=0{,}0900,
\frac{m}{k}=\frac{0{,}200}{10{,}0}=0{,}0200,
\frac{m}{k}\,v(0)^2=0{,}0200\times(2{,}00)^2=0{,}0200\times4{,}00=0{,}0800.
Somando:
A^2=0{,}0900+0{,}0800=0{,}1700.
Logo
A=\sqrt{0{,}1700}=0{,}4123\\ \mathrm{m}.
Arredondando com consistência (dados com 3 algarismos significativos), podemos usar
A\approx0{,}412\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora precisamos das expressões temporais. Para um sistema massa-mola sem amortecimento a solução geral do deslocamento é harmônica simples:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • \omega é a frequência angular,
  • \varphi é a fase inicial (ângulo de fase) que ajustamos pelas condições iniciais.
A velocidade é a derivada temporal:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Explique cada símbolo: \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} (porque a equação diferencial é m\ddot x + kx=0); \varphi é tal que x(0)=A\cos\varphi e v(0)=-A\omega\sin\varphi.

Passo 6

Calcule a frequência angular \omega:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{10{,}0}{0{,}200}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}071\\ \mathrm{rad/s}.
(Arredondei para \omega\approx7{,}07\\ \mathrm{rad/s} se quiser 3 algarismos).

Passo 7

Determine a fase \varphi a partir das condições iniciais. Use
x(0)=A\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi=\frac{x(0)}{A},
v(0)=-A\omega\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \sin\varphi=-\frac{v(0)}{A\omega}.
Calcule numericamente:
\cos\varphi=\frac{0{,}300}{0{,}4123}=0{,}7276,
\sin\varphi=-\frac{2{,}00}{0{,}4123\times7{,}071}= -0{,}6860.
Verificação rápida: (0{,}7276)^2+(-0{,}6860)^2\approx1{,}00 — ok, coerente.
Agora obtenha \varphi usando a função arco-tangente com o par (sen, cos) para preservar o quadrante:
\varphi=\operatorname{atan2}\bigl(\sin\varphi,\cos\varphi\bigr)=\operatorname{atan2}(-0{,}6860,\,0{,}7276)\approx-0{,}754\\ \text{rad}.
(em graus isso dá aproximadamente -43{,}2^\circ). Então a fase inicial é \varphi\approx-0{,}754\\ \text{rad}.

Passo 8

Escreva as expressões finais para x(t) e v(t), substituindo A, \omega e \varphi com os valores calculados. Lembre-se que a velocidade vem da derivada da função cosseno:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
v(t)=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Substituindo numericamente (mantendo coerência de algarismos significativos):
A\approx0{,}412\\ \mathrm{m},\qquad \omega\approx7{,}07\\ \mathrm{rad/s},\qquad \varphi\approx-0{,}754\\ \mathrm{rad}.
Portanto:
x(t)\approx0{,}412\cos\bigl(7{,}07\,t-0{,}754\bigr)\\ \mathrm{m},
v(t)\approx-0{,}412\times7{,}07\;\sin\bigl(7{,}07\,t-0{,}754\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Calcule o coeficiente da velocidade:
A\omega\approx0{,}412\times7{,}07\approx2{,}92,
logo
v(t)\approx-2{,}92\;\sin\bigl(7{,}07\,t-0{,}754\bigr)\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A\approx0{,}412\\ \mathrm{m}
x(t)\approx0{,}412\cos\bigl(7{,}07\,t-0{,}754\bigr)\\ \mathrm{m}
v(t)\approx-2{,}92\sin\bigl(7{,}07\,t-0{,}754\bigr)\\ \mathrm{m/s}

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