Uma partícula de massa m=1,00 \mathrm{~kg} desloca-se em um plano. O vetor posição da partícula (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dado por
\vec{r}(t)=\left(2,00 t-2,00 t^{2}\right) \hat{\imath}+\left(1,00-2,00 t^{2}+\frac{1}{3} t^{3}\right) \hat{\jmath},
em que \hat{\imath} e \hat{\jmath} são, respectivamente, os vetores unitários ao longo dos eixos x horizontal e y vertical.
Questões 3 e 4:
Questão 3 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Qual é o módulo da velocidade da partícula para t=1,0 \mathrm{~s} ?
(a) 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(b) \sqrt{13} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(c) \sqrt{52} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(d) 14,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(e) \sqrt{109} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(f) \sqrt{349} \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

Dados fornecidos:
\vec{r}(t)=\left(2,00\,t-2,00\,t^{2}\right)\hat{\imath}+\left(1,00-2,00\,t^{2}+\frac{1}{3}t^{3}\right)\hat{\jmath},
massa \,m=1,00\\ \mathrm{kg} (não será necessária para o módulo da velocidade).
O que se pede: o módulo da velocidade da partícula para t=1,0\\ \mathrm{s}.
Alternativas dadas:
(a) 2,00\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) \sqrt{13}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(c) \sqrt{52}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(d) 14,0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(e) \sqrt{109}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(f) \sqrt{349}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Passo 2

Entendendo o que é velocidade e como calculá‑la (mini-aula):
  • A velocidade vetorial \vec{v}(t) é a derivada temporal da posição: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Isso significa derivar cada componente de \vec{r}(t) em relação a t.
  • Regras de derivação usadas (lembrete prático):
    • Derivada de uma constante é 0.
    • Derivada de a\,t^{n} é a\,n\,t^{n-1} (regra do poder).
    • Derivada da soma é a soma das derivadas.
  • O módulo (norma) de um vetor bidimensional \vec{v}=(v_x,v_y) é \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}. Aqui vamos aplicar isso depois de achar v_x(t) e v_y(t).

Passo 3

Derivando as componentes de \vec{r}(t) usando as regras acima:
  • Componente x: x(t)=2,00\,t-2,00\,t^{2}. Aplicando a derivada:
v_x(t)=\frac{dx}{dt}=2,00-4,00\,t.
(Detalhe: derivada de 2,00\,t é 2,00; derivada de -2,00\,t^{2} é -2,00\cdot 2\,t=-4,00\,t.)
  • Componente y: y(t)=1,00-2,00\,t^{2}+\dfrac{1}{3}t^{3}. Aplicando a derivada:
v_y(t)=\frac{dy}{dt}= -4,00\,t + t^{2}.
(Detalhe: derivada de 1,00 é 0; de -2,00\,t^{2} é -4,00\,t; de \tfrac{1}{3}t^{3} é \tfrac{1}{3}\cdot 3\,t^{2}=t^{2}.)

Passo 4

Avaliar as componentes da velocidade em t=1,0\\ \mathrm{s}:
v_x(1,0)=2,00-4,00\cdot 1,0 = -2,00\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
v_y(1,0)=-4,00\cdot 1,0 + (1,0)^{2} = -4,00 + 1,00 = -3,00\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Ou seja, em t=1,0\\ \mathrm{s} o vetor velocidade é \vec{v}(1,0)=(-2,00)\hat{\imath}+(-3,00)\hat{\jmath} em \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Calcular o módulo da velocidade usando a fórmula da norma:
\|\vec{v}(1,0)\|=\sqrt{v_x(1,0)^{2}+v_y(1,0)^{2}}=\sqrt{(-2,00)^{2}+(-3,00)^{2}}.
Agora as contas:
(-2,00)^{2}=4,00,\qquad (-3,00)^{2}=9,00,
4,00+9,00=13,00,
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\|\vec{v}(1,0)\|=\sqrt{13,00}=\sqrt{13}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Comparando com as alternativas, o valor corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) \sqrt{13}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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