( 2,0 ) Supondo que é
constante, mostre que a taxa radial de fluxo de calor
em uma substancia entre duas esferas concêntricas e dada por
em que a esfera interna tem um raio
e Temperatura
, e a esfera externa tem um raio
e temperatura
.
em uma substancia entre duas esferas concêntricas e dada por
Passo 1
O enunciado dá duas esferas concêntricas com raios e temperaturas conhecidos e pede a taxa radial de fluxo de calor entre elas. Dados fornecidos e o que se pede:
- A condutividade térmica é constante
. - Esfera interna: raio
e temperatura . - Esfera externa: raio
e temperatura . - Pede-se a taxa total de calor (fluxo térmico) radial
que atravessa a camada esférica entre e .
Passo 2
Vamos usar a lei de Fourier para condução de calor no regime estacionário. A lei de Fourier diz que o vetor fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura, com sinal negativo:
Aqui:
-
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: potência por área), -
é a condutividade térmica (constante), -
é o gradiente espacial da temperatura.
Para simetria esférica (temperatura depende só de
), o gradiente radial reduz-se a
na direção radial. Assim, a componente radial do fluxo por unidade de área é
Passo 3
A taxa total de calor que atravessa uma superfície esférica de raio
(a potência que atravessa essa superfície) é o fluxo por unidade de área vezes a área da esfera. A área de uma esfera de raio
é
. Logo a taxa total de calor
em função de
é
No regime estacionário (estado permanente), não há acúmulo de calor dentro da concha entre as esferas, portanto
é independente de
. Podemos escrever, portanto,
Passo 4
Vamos isolar
e integrar entre as duas superfícies conhecidas. Da equação anterior:
Integramos ambas as partes com respeito a
, tomando os limites correspondentes às temperaturas e raios: quando
temos
e quando
temos
. Assim
Calcule as integrais. A integral à esquerda é simplesmente
. A integral à direita usa
. Portanto
Avalie o colchete:
Substituindo:
Passo 5
Agora resolvemos para
. Reescrevendo a equação:
Isolando
obtemos
Simplificamos o denominador reunindo em um único quociente:
Substituindo esse valor em
dá
Observação rápida: com essa convenção,
quando
, ou seja, calor flui da esfera interna mais quente para a externa mais fria.