( 2,0 ) Supondo que é k constante, mostre que a taxa radial de fluxo de calor
em uma substancia entre duas esferas concêntricas e dada por
H=4 \pi k r_{1} r_{2} \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\left(r_{2}-r_{1}\right)},
em que a esfera interna tem um raio r_{1} e Temperatura T_{1}, e a esfera externa tem um raio r_{2} e temperatura T_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas concêntricas com raios e temperaturas conhecidos e pede a taxa radial de fluxo de calor entre elas. Dados fornecidos e o que se pede:
  • A condutividade térmica é constante k.
  • Esfera interna: raio \,r_{1}\, e temperatura \,T_{1}\,.
  • Esfera externa: raio \,r_{2}\, e temperatura \,T_{2}\,.
  • Pede-se a taxa total de calor (fluxo térmico) radial H que atravessa a camada esférica entre \,r_{1}\, e \,r_{2}\,.

Passo 2

Vamos usar a lei de Fourier para condução de calor no regime estacionário. A lei de Fourier diz que o vetor fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura, com sinal negativo:
\mathbf{q} = -k \nabla T.
Aqui:
  • \mathbf{q} é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: potência por área),
  • k é a condutividade térmica (constante),
  • \nabla T é o gradiente espacial da temperatura.
Para simetria esférica (temperatura depende só de r), o gradiente radial reduz-se a \dfrac{dT}{dr} na direção radial. Assim, a componente radial do fluxo por unidade de área é
q_{r} = -k \frac{dT}{dr}.

Passo 3

A taxa total de calor que atravessa uma superfície esférica de raio r (a potência que atravessa essa superfície) é o fluxo por unidade de área vezes a área da esfera. A área de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}. Logo a taxa total de calor H em função de r é
H(r) = q_{r}\cdot 4\pi r^{2} = -k\cdot 4\pi r^{2}\frac{dT}{dr}.
No regime estacionário (estado permanente), não há acúmulo de calor dentro da concha entre as esferas, portanto H é independente de r. Podemos escrever, portanto,
H = -4\pi k r^{2}\frac{dT}{dr}.

Passo 4

Vamos isolar \dfrac{dT}{dr} e integrar entre as duas superfícies conhecidas. Da equação anterior:
\frac{dT}{dr} = -\frac{H}{4\pi k}\cdot \frac{1}{r^{2}}.
Integramos ambas as partes com respeito a r, tomando os limites correspondentes às temperaturas e raios: quando r=r_{1} temos T=T_{1} e quando r=r_{2} temos T=T_{2}. Assim
\int_{T_{1}}^{T_{2}} dT = -\frac{H}{4\pi k}\int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{1}{r^{2}}\,dr.
Calcule as integrais. A integral à esquerda é simplesmente T_{2}-T_{1}. A integral à direita usa \displaystyle\int r^{-2}dr = -\frac{1}{r}. Portanto
T_{2}-T_{1} = -\frac{H}{4\pi k}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}.
Avalie o colchete:
\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{1}}^{r_{2}} = -\frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{1}} = \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}.
Substituindo:
T_{2}-T_{1} = -\frac{H}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).

Passo 5

Agora resolvemos para H. Reescrevendo a equação:
T_{1}-T_{2} = \frac{H}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Isolando H obtemos
H = 4\pi k \,\frac{T_{1}-T_{2}}{\dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}}.
Simplificamos o denominador reunindo em um único quociente:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} = \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}.
Substituindo esse valor em H
H = 4\pi k \,\frac{T_{1}-T_{2}}{\dfrac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}} = 4\pi k\, r_{1} r_{2}\,\frac{T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}.
Observação rápida: com essa convenção, H>0 quando T_{1}>T_{2}, ou seja, calor flui da esfera interna mais quente para a externa mais fria.

Resposta

H=4\pi k r_{1} r_{2}\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\left(r_{2}-r_{1}\right)}

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