Uma partícula de massa m=1,00 \mathrm{~kg} desloca-se em um plano. O vetor posição da partícula (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dado por
\vec{r}(t)=\left(2,00 t-2,00 t^{2}\right) \hat{\imath}+\left(1,00-2,00 t^{2}+\frac{1}{3} t^{3}\right) \hat{\jmath},
em que \hat{\imath} e \hat{\jmath} são, respectivamente, os vetores unitários ao longo dos eixos x horizontal e y vertical.
Questões 3 e 4:
Questão 4 ( 1,0 ponto): Qual é o módulo da força resultante sobre a partícula para t=1,0 \mathrm{~s} ?
(a) \sqrt{32} \mathrm{~N}
(b) \sqrt{20} \mathrm{~N}
(c) \sqrt{16} \mathrm{~N}
(d) \sqrt{25} \mathrm{~N}
(e) \sqrt{17} \mathrm{~N}
(f) \sqrt{52} \mathrm{~N}

Passo 1

Dados fornecidos:
m=1,00\\ \mathrm{kg}
\vec{r}(t)=\left(2,00\,t-2,00\,t^{2}\right)\hat{\imath}+\left(1,00-2,00\,t^{2}+\frac{1}{3}t^{3}\right)\hat{\jmath}
Pedido: determinar o módulo da força resultante sobre a partícula para t=1,0\\ \mathrm{s}. As alternativas dadas são:
\sqrt{32}\\ \mathrm{N},\\ \sqrt{20}\\ \mathrm{N},\\ \sqrt{16}\\ \mathrm{N},\\ \sqrt{25}\\ \mathrm{N},\\ \sqrt{17}\\ \mathrm{N},\\ \sqrt{52}\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (sem pular etapas): a segunda lei de Newton diz que a força resultante é a massa multiplicada pela aceleração:
\vec{F}(t)=m\,\vec{a}(t).
A aceleração é a derivada segunda do vetor posição em relação ao tempo:
\vec{a}(t)=\ddot{\vec{r}}(t)=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Regra prática para polinômios: se f(t)=c\,t^{n} então f'(t)=c\,n\,t^{n-1} e f''(t)=c\,n(n-1)\,t^{n-2}. Vamos aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Separe as componentes x e y:
r_x(t)=2,00\,t-2,00\,t^{2},
r_y(t)=1,00-2,00\,t^{2}+\frac{1}{3}t^{3}.
Derive r_x(t) duas vezes:
primeira derivada (velocidade em x):
v_x(t)=\frac{dr_x}{dt}=2,00-4,00\,t
porque \frac{d}{dt}(2,00\,t)=2,00 e \frac{d}{dt}(-2,00\,t^{2})=-4,00\,t.
segunda derivada (aceleração em x):
a_x(t)=\frac{d^{2}r_x}{dt^{2}}=\frac{dv_x}{dt}=-4,00,
pois derivada de 2,00 é 0 e de -4,00\,t é -4,00. Note que a_x(t) é constante.

Passo 4

Agora derive r_y(t):
primeira derivada (velocidade em y):
v_y(t)=\frac{dr_y}{dt}=-4,00\,t+t^{2},
porque \frac{d}{dt}(-2,00\,t^{2})=-4,00\,t e \frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{3}t^{3}\right)=t^{2}.
segunda derivada (aceleração em y):
a_y(t)=\frac{d^{2}r_y}{dt^{2}}=\frac{dv_y}{dt}=-4,00+2\,t,
pois derivada de -4,00\,t é -4,00 e de t^{2} é 2t.

Passo 5

Avalie as componentes da aceleração em t=1,0\\ \mathrm{s}:
a_x(1,0)=-4,00\\ \mathrm{m/s^{2}},
a_y(1,0)=-4,00+2\cdot1,0=-2,00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Como m=1,00\\ \mathrm{kg}, a força resultante é
\vec{F}(1,0)=m\vec{a}(1,0)=1,00\bigl(-4,00\,\hat{\imath}-2,00\,\hat{\jmath}\bigr)=-4,00\,\hat{\imath}-2,00\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcule o módulo da força usando a fórmula do módulo de um vetor em 2D:
|\vec{F}|= \sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}=m\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}.
Substituindo os valores:
|\vec{F}(1,0)|=\sqrt{(-4,00)^{2}+(-2,00)^{2}}=\sqrt{16,00+4,00}=\sqrt{20,00}.
Podemos também notar que \sqrt{20,00}=2\sqrt{5}, mas como as opções dão \sqrt{20}, escolhemos essa.

Resposta

\sqrt{20}\\ \mathrm{N}

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