1. Um bloco de massa igual a 0,5 \mathrm{~kg} é abandonado, em repouso, 2 m acima de uma mola vertical de comprimento 0,8 \mathrm{~m} e constante elástica igual a 100 \mathrm{N} / \mathrm{m}, conforme o diagrama. Calcule o menor comprimento que a mola atingirá. Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=0,5\:\mathrm{kg} abandonado desde o repouso a 2\:\mathrm{m} acima do topo de uma mola de comprimento natural L_0=0,8\:\mathrm{m} e constante elástica k=100\:\mathrm{N/m}. Queremos achar a compressão máxima \,x da mola, e então o menor comprimento atingido L_{\min}=L_0 - x. Para isso usaremos a conservação de energia mecânica, considerando g=10\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Na descida até o ponto de máxima compressão, a energia potencial gravitacional cedida pela força peso equivale à energia armazenada na mola. Como o bloco desce 2\:\mathrm{m} até o topo da mola e depois comprime mais x, a obra da gravidade é
W_g = m g (2 + x)
e essa energia vira energia potencial elástica
U_\text{mol} = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2.
Logo, pela conservação de energia (vento de energia cinética nula no ponto mais baixo):
\tfrac{1}{2}\,k\,x^2 = m g (2 + x).

Passo 3

Substituindo m=0,5, g=10 e k=100 na equação
\tfrac{1}{2}\cdot100\,x^2 = 0{,}5\cdot10\,(2 + x)
temos
50\,x^2 = 5\,(2 + x) = 10 + 5x
50\,x^2 - 5x - 10 = 0
dividindo por 5
10\,x^2 - x - 2 = 0.
O discriminante é \Delta = (-1)^2 - 4\cdot10\cdot(-2) = 1 + 80 = 81, logo
x = \frac{1 \pm 9}{2\cdot10}.
Desprezamos a raiz negativa e mantemos
x = \frac{1+9}{20} = 0{,}5\:\mathrm{m}.

Passo 4

A compressão máxima da mola é x=0{,}5\:\mathrm{m}. Como o comprimento natural é L_0=0{,}8\:\mathrm{m}, o menor comprimento atingido pela mola é
L_{\min} = L_0 - x = 0{,}8 - 0{,}5 = 0{,}3\:\mathrm{m}.

Resposta

O menor comprimento que a mola atingirá é 0{,}3\:\mathrm{m}.

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