LISTA 02

  1. Uma bolinha de massa m=200 \mathrm{~g} é largada do repouso de uma altura h, acima de uma mola ideal, de constante elástica k=1240 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, que está fixada no piso (ver figura). Ela colide com a mola comprimindo-a por \mathrm{x}=10 \mathrm{~cm}. Calcule, em metros, a altura inicial h. Despreze a resistência do ar. Use g =10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado trata de conservação da energia mecânica num sistema massa–mola sem atrito. A bolinha de massa m=0{,}2,kg é largada do repouso a uma altura h acima do topo da mola e comprime a mola até x=0{,}1,m, parando momentaneamente. Vamos usar que a energia potencial gravitacional perdida se transforma em energia potencial elástica da mola.

Passo 2

Na posição inicial (bolinha solta, mola sem compressão) a energia mecânica é só gravitacional:
E_i = m g h \,.

Passo 3

Na posição de máxima compressão x, a velocidade é zero, então a energia mecânica é só a soma da energia elástica da mola e da energia potencial gravitacional relativa ao ponto de repouso do topo da mola:
E_f = \tfrac12 k x^2 - m g x,
onde usamos o sinal “ -” em m g x porque a bolinha desceu mais x além de h.

Passo 4

Pela conservação de energia E_i = E_f, temos
m g h = \tfrac12 k x^2 - m g x.
Isolando h:
h = \frac{\tfrac12 k x^2}{m g} - x.
Agora substituímos m=0{,}2,kg, k=1240,N/m, x=0{,}1,m e g=10,m/s ^2:
h = \frac{\tfrac12\cdot1240\cdot(0{,}1)^2}{0{,}2\cdot10} - 0{,}1 = \frac{1240\cdot0{,}01}{2\cdot2} - 0{,}1 = \frac{12{,}4}{4} - 0{,}1 = 3{,}1 - 0{,}1 = 3{,}0\\ \text{m}.

Resposta

A altura inicial é h = 3{,}0 metros.

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