Um bloco de massa M, inicialmente em repouso, recebe a ação exclusiva de uma força F constante que o leva a percorrer uma distância D durante um intervalo de tempo T. Um outro bloco, de massa M, também inicialmente em repouso, recebe a ação da mesma força F constante, de modo a percorrer a mesma distância d durante um intervalo de tempo 2T. Determine a relação M1 M2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois blocos, cada um com massas diferentes (vamos chamar de $ M_1 $ e $ M_2 $), ambos inicialmente parados. Uma força constante $ F $ age sobre cada bloco, fazendo com que cada um percorra uma distância durante um certo tempo.
No primeiro caso, o bloco $ M_1 $ percorre uma distância $ D $ em um tempo $ T $. No segundo caso, o bloco $ M_2 $ percorre a mesma distância $ D $, mas em um tempo $ 2T $. A gente precisa descobrir qual é a relação entre as massas $ M_1 $ e $ M_2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, $ m $ é a massa do bloco e $ a $ é a aceleração.
Passo 3
Vamos considerar o movimento de cada bloco separadamente. Como os blocos partem do repouso, podemos usar as equações de movimento uniformemente acelerado. A relação entre a distância $ D $, o tempo $ T $ e a aceleração $ a $ é dada por:
Passo 4
Para o primeiro bloco ($ M_1 $) que percorre a distância $ D $ em tempo $ T $:
Isolando a aceleração $ a_1 $:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton para o primeiro bloco:
Substituindo $ a_1 $:
Passo 6
Agora, vamos analisar o segundo bloco ($ M_2 $) que também percorre a distância $ D $, mas em um tempo $ 2T $:
Simplificando:
Isolando a aceleração $ a_2 $:
Passo 7
Aplicando a segunda lei de Newton para o segundo bloco:
Substituindo $ a_2 $:
Passo 8
Agora, temos duas expressões para a força $ F $:
Como a força $ F $ é a mesma nos dois casos, podemos igualar as duas expressões:
Passo 9
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ D $ e multiplicando por $ T^2 $:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Resposta
A relação entre as massas é $ M_2 = 4 M_1 $. Ou seja, a massa $ M_2 $ é quatro vezes maior que a massa $ M_1 $.