Qual o módulo do vetor diferença entre dois vetores que formam entre si um ângulo de 30º e cujos módulos são 3m e 8 m? cos 30º = 0,86​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre vetores e envolve encontrar o módulo da diferença entre dois vetores que formam um ângulo de 30º entre si. Sabemos que os módulos desses vetores são 3 metros e 8 metros, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula para calcular a diferença entre dois vetores quando conhecemos seus módulos e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o módulo da diferença entre dois vetores. Se temos dois vetores A e B, o módulo da diferença deles, ou seja, |A - B|, é dado por:
|A - B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2 cdot |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Onde:
  • |A| e |B| são os módulos dos vetores A e B, respectivamente.
  • theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
  • |A| = 3 , m
  • |B| = 8 , m
  • cos(30º) = 0,86º
Substituindo na fórmula:
|A - B| = raiz3^2 + 8^2 - 2 cdot 3 cdot 8 cdot 0,86

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Calculando 3^2:
3^2 = 9
  1. Calculando 8^2:
8^2 = 64
  1. Calculando 2 cdot 3 cdot 8 cdot 0,86:
2 cdot 3 = 6 6 cdot 8 = 48 48 cdot 0,86 = 41,28

Passo 5

Substituindo esses valores de volta na expressão:
|A - B| = raiz9 + 64 - 41,28
Somando os números dentro da raiz:
9 + 64 = 73 73 - 41,28 = 31,72
Portanto:
|A - B| = raiz31,72

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a raiz quadrada de 31,72:
raiz31,72 approx 5,63 , m

Resposta

O módulo do vetor diferença entre os dois vetores é aproximadamente 5,63 metros.

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