Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A compressão máxima da mola.

Passo 1

O enunciado fornece um bloco com massa \,m=5{,}0\\ \mathrm{kg}\, que desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, ligado a uma mola com constante elástica \,k=500\\ \mathrm{N/m}\,. Em \,t=0 a mola está relaxada (sem compressão) e o bloco tem velocidade \,v=10{,}0\\ \mathrm{m/s}\,. A pergunta é: determinar a compressão máxima da mola (ou seja, o máximo deslocamento \,x da posição relaxada até o instante de maior compressão).
Informações relevantes:
  • \,m=5{,}0\\ \mathrm{kg}
  • \,k=500\\ \mathrm{N/m}
  • velocidade inicial \,v=10{,}0\\ \mathrm{m/s}
  • mola inicialmente relaxada \,(x_{i}=0)
  • superfície sem atrito (logo, sem perda de energia mecânica por calor)
  • pergunta: compressão máxima \,x_{\max}

Passo 2

Idéia física e por que funciona: quando o bloco empurra a mola, sua energia cinética vai sendo transformada em energia potencial elástica. No instante de compressão máxima a velocidade do bloco é zero (o bloco momentaneamente pára antes de ser reconduzido pela mola), então toda a energia cinética inicial acabou convertida em energia potencial da mola. Como não há atrito, a energia mecânica total se conserva.
Formulas de energia usadas (explicando cada termo):
  • Energia cinética: \displaystyle K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, onde \,m é a massa (em kg) e \,v a velocidade (em m/s).
  • Energia potencial elástica da mola: \displaystyle U=\tfrac{1}{2}k x^{2}, onde \,k é a constante da mola (em N/m) e \,x é a compressão (em m).

Passo 3

Escrevemos a conservação da energia entre o instante inicial ( t=0, mola relaxada) e o instante de compressão máxima:
\tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}k x_{i}^{2} = \tfrac{1}{2}m v_{f}^{2} + \tfrac{1}{2}k x_{f}^{2}.
Aqui:
  • x_{i}=0 (mola relaxada no início),
  • v_{f}=0 (velocidade nula na compressão máxima),
  • x_{f}=x_{\max} é o que queremos.
Substituindo essas condições, a equação fica:
\tfrac{1}{2}m v^{2} = \tfrac{1}{2}k x^{2}.

Passo 4

Isolando x: primeiro cancelamos \tfrac{1}{2} dos dois lados,
m v^{2} = k x^{2}.
Despejando x,
x = v \sqrt{\dfrac{m}{k}}.
Explicação das unidades (checagem rápida): v tem unidade \mathrm{m/s}. O fator \sqrt{m/k} tem unidade \sqrt{\mathrm{kg}/(\mathrm{N/m})}. Como \mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^{2}}, tem-se \mathrm{kg}/(\mathrm{N/m})=\mathrm{kg}/(\mathrm{kg\cdot m/s^{2}/m})=\mathrm{s^{2}}. Logo \sqrt{m/k} tem unidade \mathrm{s}, e v\cdot\sqrt{m/k} tem unidade \mathrm{m}, consistente com um deslocamento.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos passo a passo (sem calculadora complicada):
\dfrac{m}{k}=\dfrac{5{,}0}{500}=0{,}01.
\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1.
x = v\cdot 0{,}1 = 10{,}0\cdot 0{,}1 = 1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: a compressão máxima é relativamente grande ( 1{,}0\\ \mathrm{m}) porque a mola não é tão rígida comparada à energia inicial do bloco. Na prova, sempre verifique se há forças dissipativas (aqui não há), e use conservação de energia quando apropriado — é frequentemente a forma mais rápida e limpa para problemas de mola + movimento sem atrito.

Resposta

1{,}0\\ \mathrm{m}

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