Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A velocidade do bloco quando a mola está comprimida em 10,0 cm.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade do bloco quando a mola está comprimida em 10{,}0\\ \text{cm}. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Massa do bloco: m=5{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=500\\ \mathrm{N/m}.
  • Em t=0 a mola está relaxada (ou seja compressão x_0=0) e o bloco tem velocidade inicial v_0=10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Não há atrito (mesa sem atrito).
  • Procuramos a velocidade v do bloco quando a compressão da mola é x=10{,}0\\ \text{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito físico principal (explicado devagar): em ausência de forças dissipativas (como atrito), a energia mecânica total se conserva. Isso significa que a soma da energia cinética do bloco e da energia potencial elástica da mola permanece constante enquanto o bloco comprime a mola. Vou explicar as energias envolvidas:
  • Energia cinética de um corpo que se move com velocidade v é \displaystyle K=\frac{1}{2}mv^{2}. Aqui m é a massa (em kg) e v a velocidade (em m/s). A unidade resultante é joule (J).
  • Energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida/esticada de afastamento x em relação ao repouso é \displaystyle U_{s}=\frac{1}{2}kx^{2}. Aqui k é a constante da mola (em N/m) e x é a distância (em m). Também tem unidade joule (J).

Passo 3

Escrevemos a conservação da energia mecânica entre o instante inicial (molha relaxada, compressão x_0=0, velocidade v_0) e o instante em que a mola está comprimida x e a velocidade é v. A equação é:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2} + \frac{1}{2}k x_{0}^{2} \;=\; \frac{1}{2}m v^{2} + \frac{1}{2}k x^{2}.
Como x_{0}=0, o termo \frac{1}{2}k x_{0}^{2} é zero, então simplifica para:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2} \;=\; \frac{1}{2}m v^{2} + \frac{1}{2}k x^{2}.

Passo 4

Agora isolamos v. Primeiro multiplicamos a equação por 2 para eliminar os meios:
m v_{0}^{2} = m v^{2} + k x^{2}.
Em seguida isolamos v^{2}:
m v^{2} = m v_{0}^{2} - k x^{2}.
Dividindo por m:
v^{2} = v_{0}^{2} - \frac{k}{m}\,x^{2}.
Finalmente, como v é velocidade escalar positiva neste contexto (o bloco ainda se move para frente no instante considerado), tomamos a raiz quadrada positiva:
v = \sqrt{\,v_{0}^{2} - \dfrac{k}{m}\,x^{2}\, }.
Aqui explico cada termo: v_{0} é a velocidade inicial known, \dfrac{k}{m} tem unidade \mathrm{s}^{-2} e multiplica x^{2} (em \mathrm{m}^{2}), garantindo que o interior da raiz tem unidade \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} compatível com v^{2}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (atenção às unidades):
  • v_{0}=10{,}0\\ \mathrm{m/s} então v_{0}^{2}=(10{,}0)^{2}=100\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • k=500\\ \mathrm{N/m} e m=5{,}0\\ \mathrm{kg} então \dfrac{k}{m}=\dfrac{500}{5{,}0}=100\\ \mathrm{s^{-2}}.
  • x=10{,}0\\ \text{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m} então x^{2}=(0{,}10)^{2}=0{,}01\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule o termo subtraído:
\frac{k}{m}\,x^{2} = 100 \times 0{,}01 = 1\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Portanto
v^{2} = 100 - 1 = 99\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 6

Tirando a raiz quadrada:
v = \sqrt{99}\\ \mathrm{m/s}\approx 9{,}949874\dots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma apropriada (os dados foram dados com três algarismos no máximo, por exemplo 10{,}0), podemos apresentar v com três algarismos significativos: v\approx 9{,}95\\ \mathrm{m/s}.
Comentário final curto: a velocidade diminuiu pouco porque a energia armazenada na mola para x=0{,}10\\ \mathrm{m} é pequena em comparação com a energia cinética inicial; isso aparece numericamente porque \tfrac{1}{2}k x^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot(0{,}10)^{2}=2{,}5\\ \mathrm{J}, enquanto a energia cinética inicial é \tfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot5{,}0\cdot100=250\\ \mathrm{J}.

Resposta

v=9{,}95\\ \mathrm{m/s}

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