Um bloco de massa m=2 kg, oscila em linha reta em uma superfície horizontal sem atrito. A mola apresenta uma constante k=800 N / m, e o bloco é solto (partindo do repouso) da posição máxima x=+30 cm. Inicialmente ( t=0 ) o objeto encontra-se na posição x(0)=+15 cm em relação ao ponto de equilíbrio do sistema. Substitua os valores nas equações.
Escreva a equação da posição em função do tempo x(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa $ m = 2 , kg $ que está oscilando em linha reta sobre uma superfície sem atrito, preso a uma mola com constante elástica $ k = 800 , N/m $. O bloco foi solto a partir da posição máxima de $ x = +30 , cm $ e, inicialmente ($ t = 0 $), está na posição $ x(0) = +15 , cm $ em relação ao ponto de equilíbrio. Queremos encontrar a equação da posição $ x(t) $ em função do tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), que descreve movimentos oscilatórios como o de um bloco em uma mola. Precisamos das fórmulas que relacionam a posição, a massa, a constante da mola e o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição de um objeto em MHS pode ser descrita por uma função senoidal:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
onde:
  • $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude e a fase da oscilação.
  • $ \omega $ é a frequência angular, dada por $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \omega $ usando os valores fornecidos:
omega

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições iniciais. Sabemos que no tempo $ t = 0 $:
A
Como $ x(0) = +15 , cm $, temos:
B

Passo 5

Também sabemos que o bloco foi solto a partir do repouso na posição máxima $ x = +30 , cm $. Isso significa que a velocidade inicial $ v(0) = 0 $. A velocidade é a derivada de $ x(t) $:
x = +30 , cm
No tempo $ t = 0 $:
v(0) = 0
Como $ v(0) = 0 $:
x(t)

Passo 6

Com $ A = 15 , cm $ e $ B = 0 $, a equação da posição fica:
A = 15 , cm

Resposta

A equação da posição em função do tempo é:
x(t) = 15 , cm cdot cos(20 t)

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