Um bloco de massa
, oscila em linha reta em uma superfície horizontal sem atrito. A mola apresenta uma constante
, e o bloco é solto (partindo do repouso) da posição máxima
. Inicialmente (
) o objeto encontra-se na posição
em relação ao ponto de equilíbrio do sistema. Substitua os valores nas equações.
Escreva a equação da posição em função do tempo
.
Escreva a equação da posição em função do tempo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa $ m = 2 , kg $ que está oscilando em linha reta sobre uma superfície sem atrito, preso a uma mola com constante elástica $ k = 800 , N/m $. O bloco foi solto a partir da posição máxima de $ x = +30 , cm $ e, inicialmente ($ t = 0 $), está na posição $ x(0) = +15 , cm $ em relação ao ponto de equilíbrio. Queremos encontrar a equação da posição $ x(t) $ em função do tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), que descreve movimentos oscilatórios como o de um bloco em uma mola. Precisamos das fórmulas que relacionam a posição, a massa, a constante da mola e o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição de um objeto em MHS pode ser descrita por uma função senoidal:
onde:
- $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude e a fase da oscilação.
- $ \omega $ é a frequência angular, dada por $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \omega $ usando os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, precisamos determinar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições iniciais. Sabemos que no tempo $ t = 0 $:
Como $ x(0) = +15 , cm $, temos:
Passo 5
Também sabemos que o bloco foi solto a partir do repouso na posição máxima $ x = +30 , cm $. Isso significa que a velocidade inicial $ v(0) = 0 $. A velocidade é a derivada de $ x(t) $:
No tempo $ t = 0 $:
Como $ v(0) = 0 $:
Passo 6
Com $ A = 15 , cm $ e $ B = 0 $, a equação da posição fica:
Resposta
A equação da posição em função do tempo é: