Lista #1 (parte I) de exercícios de eletromagnetismo I, turma 3.
Determine a distribuição de cargas que gera o seguinte campo elétrico:
E=1r^2(1-cos 3 r) ar V / m

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede: “Determine a distribuição de cargas que gera o campo
E(r)=1r^2l(1-cos(3r)r),ar(V/m)
Isso é teoria de eletrostática: a gente vai usar a forma diferencial da Lei de Gauss, que relaciona o divergente do campo elétrico nablacdotE à densidade de carga rho. Também precisamos do divergente em coordenadas esféricas, já que o campo é só radial e depende de r.

Passo 2

A Lei de Gauss (diferencial) diz que
nablacdotE ;=;rhovarepsilon0
Logo, pra achar rho(r) basta calcular nablacdotE(r) e depois multiplicar por varepsilon0.

Passo 3

Como E tem só componente radial Er(r), em coordenadas esféricas o divergente é
nablacdotE =1r^2ddrl(r^2Er(r)r)
Aqui Er(r)=dfrac1-cos(3r)r^2. Então
  1. Calcule r^2Er = 1-cos(3r).
  2. Derive em relação a r:
ddrl(1-cos(3r)r) =3sin(3r)
  1. Logo
nablacdotE =1r^2;3sin(3r) =3sin(3r)r^2

Passo 4

Agora aplicamos rho=varepsilon0,nablacdotE. Assim
rho(r) =varepsilon0,3sin(3r)r^2
Note que, como Er não fica singular em r=0 (ele tende a um valor finito quando rto0), não precisamos colocar termo em delta de Dirac no centro.

Resposta

boxedrho(r)=3varepsilon0,sin(3r)r^2,

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