Questão 1. Uma massa presa a uma mola ideal executa um MHS com período de oscilação de 2,00 s. Em seguida, o mesmo conjunto massa mola é colocado para oscilar em um meio onde passa a realizar um movimento harmônico Subamortecido, com uma força viscosa proporcional à sua velocidade. Após 3,0 s de movimento, a amplitude de oscilação foi reduzida para 20% de seu valor inicial. Apresente as contas e resultado com 2 casas decimais.
(1,0 ponto) Mostre que o o valor do parâmetro de amortecimento do meio vale gamma=0,54 s^-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma massa presa a uma mola que inicialmente realiza um Movimento Harmônico Simples (MHS) com período de oscilação de 2,00 s. Em seguida, a mesma massa-mola passa a oscilar em um meio com amortecimento, realizando um Movimento Harmônico Subamortecido. Após 3,0 s, a amplitude diminuiu para 20% da amplitude inicial. Nosso objetivo é encontrar o parâmetro de amortecimento gamma.

Passo 2

Para resolver isso, vamos precisar das seguintes fórmulas:
  1. Período do MHS sem amortecimento:
    T = 2pi raizmk
    Onde T é o período, m é a massa e k é a constante da mola.
  2. Amplitude no Movimento Harmônico Subamortecido:
    A(t) = A0 e^-gamma t
    Onde A(t) é a amplitude no tempo t, A0 é a amplitude inicial e gamma é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Primeiro, como temos o período do MHS sem amortecimento, podemos relacionar gamma com a frequência natural. No caso subamortecido, a frequência de oscilação é ajustada, mas como só precisamos encontrar gamma, focamos na redução da amplitude.
Sabemos que após 3,0 s, a amplitude é 20% da inicial:
A(t)A0 = e^-gamma t = 0,20

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar gamma:
e^-gamma t = 0,20
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
-gamma t = ln(0,20)
Isolando gamma:
gamma = -ln(0,20)t

Passo 5

Substituindo os valores:
gamma = -ln(0,20)3,0 = --1,60943,0 approx 0,5365 s^-1
Arredondando para duas casas decimais:
gamma approx 0,54 s^-1

Resposta

O parâmetro de amortecimento do meio é gamma = 0,54 s^-1.

Exercícios relacionados