Questão 1. Uma massa presa a uma mola ideal executa um MHS com período de oscilação de
. Em seguida, o mesmo conjunto massa mola é colocado para oscilar em um meio onde passa a realizar um movimento harmônico Subamortecido, com uma força viscosa proporcional à sua velocidade. Após
de movimento, a amplitude de oscilação foi reduzida para 20% de seu valor inicial. Apresente as contas e resultado com 2 casas decimais.
(1,0 ponto) Mostre que o o valor do parâmetro de amortecimento do meio vale
.
(1,0 ponto) Mostre que o o valor do parâmetro de amortecimento do meio vale
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma massa presa a uma mola que inicialmente realiza um Movimento Harmônico Simples (MHS) com período de oscilação de
. Em seguida, a mesma massa-mola passa a oscilar em um meio com amortecimento, realizando um Movimento Harmônico Subamortecido. Após
, a amplitude diminuiu para 20% da amplitude inicial. Nosso objetivo é encontrar o parâmetro de amortecimento
.
Passo 2
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes fórmulas:
-
Período do MHS sem amortecimento:Onde
é o período, é a massa e é a constante da mola. -
Amplitude no Movimento Harmônico Subamortecido:Onde
é a amplitude no tempo , é a amplitude inicial e é o coeficiente de amortecimento.
Passo 3
Primeiro, como temos o período do MHS sem amortecimento, podemos relacionar
com a frequência natural. No caso subamortecido, a frequência de oscilação é ajustada, mas como só precisamos encontrar
, focamos na redução da amplitude.
Sabemos que após
, a amplitude é 20% da inicial:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 5
Substituindo os valores:
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
O parâmetro de amortecimento do meio é
.