Um bloco de massa de 2 kg está em um plano horizontal e conectado a uma mola de constante elástica \mathrm{k}=500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A mola é comprimida em 0,2 \mathrm{~m} e depois liberada empurrando o bloco. Qual a velocidade de saída do bloco?
a) 316 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
b) 216 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
c) 3,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) 2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e) 4,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um bloco com massa 2\\ \mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica \mathrm{k}=500\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}. A mola foi comprimida uma distância 0{,}2\\ \mathrm{m} e em seguida liberada, impulsionando o bloco. A pergunta é: qual é a velocidade de saída do bloco? \n\nInformações relevantes fornecidas:\n \;m=2\\ \mathrm{kg}\n \;k=500\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}\n \;x=0{,}2\\ \mathrm{m} (compressão inicial)\n \;Pergunta: velocidade de saída v do bloco (valor numérico, comparar com as alternativas).

Passo 2

Princípio físico que usaremos (explicação didática): quando a mola comprimida é liberada sem perdas (pressupomos que não há atrito nem outras perdas), a energia armazenada na mola transforma-se em energia cinética do bloco. \n\nEnergia potencial elástica da mola: \n U=\frac{1}{2}kx^{2}
Aqui \,U é a energia potencial elástica em joules, \,k é a constante elástica da mola em \mathrm{N}/\mathrm{m} e \,x é a deformação (compressão ou alongamento) em metros. Essa fórmula vem da integração da força elástica F=-kx ao longo do deslocamento; ela mede quanta energia fica “guardada” na mola. \n\nEnergia cinética do bloco: \n K=\frac{1}{2}mv^{2}
Aqui \,K é a energia cinética em joules, \,m é a massa em quilogramas e \,v é a velocidade em metros por segundo. Essa é a energia associada ao movimento do bloco.

Passo 3

Aplicando conservação de energia (sem perdas): a energia potencial inicial da mola (quando comprimida) vira energia cinética máxima do bloco quando a mola atinge sua posição natural (onde a energia elástica é zero). Portanto igualamos \,U e \,K: \n \frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}
Explicação: as metades aparecem em ambas as fórmulas; estamos assumindo que no ponto de saída toda a energia elástica foi convertida em energia cinética. Esse é o passo-chave para problemas de mola + bloco sem atrito.

Passo 4

Resolver algebricamente para v. Primeiro podemos cancelar os fatores \tfrac{1}{2} dos dois lados: \n kx^{2}=mv^{2}
Agora isolamos v^{2}: \n v^{2}=\frac{k}{m}\,x^{2}
Tomando raiz quadrada (velocidade tomada positiva porque é módulo da velocidade de saída): \n v=x\sqrt{\frac{k}{m}}
Aqui expliquei cada símbolo: v é a velocidade que queremos, x é a compressão inicial da mola, k é a constante elástica e m é a massa.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular etapas): \n v=0{,}2\\ \mathrm{m}\times\sqrt{\frac{500\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}}{2\\ \mathrm{kg}}}
Calcule o quociente dentro da raiz: \n \frac{500}{2}=250
Portanto \n v=0{,}2\sqrt{250}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
Sabemos que \sqrt{250}=\sqrt{25\cdot10}=5\sqrt{10}. Numericamente \sqrt{10}\approx3{,}1623, então \sqrt{250}\approx5\times3{,}1623=15{,}811. Agora multiplicamos por 0{,}2: \n v\approx0{,}2\times15{,}811=3{,}1622\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
Convertendo para centímetros por segundo (opção em cm/s): \n 3{,}1622\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}=316{,}22\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}
Arredondando para comparar com as alternativas, obtemos aproximadamente 316\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}, que corresponde à alternativa (a).
Observação de consistência de unidades (rápida): dentro da raiz \frac{k}{m} tem unidade \frac{\mathrm{N}/\mathrm{m}}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}}{\mathrm{kg}}=\mathrm{s}^{-2}. A raiz dá \mathrm{s}^{-1} e multiplicando por x (metros) tem-se \mathrm{m}/\mathrm{s}, ou seja unidades corretas de velocidade.

Passo 6

Comparação com as alternativas e escolha final: a alternativa que corresponde ao valor calculado é a) 316\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}. Você pode ficar tranquilo: o cálculo foi feito passo a passo a partir da conservação de energia, sem suposições extras além da ausência de atrito.

Resposta

(a) 316\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados