Um bloco de massa 3,0 \mathrm{~kg} é liberado do repouso no topo de uma rampa sem atrito. Na base da rampa, há uma mola ideal, horizontal, com constante elástica \mathrm{k}=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} . \mathrm{O} bloco desliza pela rampa e comprime a mola em 54,2 \mathrm{~cm}. Qual a altura da rampa?
a) 50 cm
b) 2,0 \mathrm{~m}
c) 100 cm
d) 150 cm
e) 2,5 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a altura da rampa a partir da qual um bloco foi liberado do repouso, sabendo que ao descer sem atrito ele comprime uma mola horizontal.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • massa do bloco: m=3,0\\ \mathrm{kg}.
  • constante elástica da mola: k=400\\ \mathrm{N/m}.
  • compressão máxima da mola: x=54,2\\ \mathrm{cm}=0,542\\ \mathrm{m}.
  • o bloco é liberado do repouso no topo da rampa (velocidade inicial nula).
  • não há atrito (logo não há perda de energia por calor).
    O que se pede:
  • encontrar a altura h da rampa (escolher a alternativa correta entre as opções dadas).

Passo 2

Ideia física (aula curta): quando não há forças dissipativas (como atrito), a energia mecânica total se conserva. Aqui inicialmente o bloco tem energia potencial gravitacional porque está a uma altura h e não tem energia cinética (parte de cima, repouso). Ao chegar na compressão máxima da mola ele parou momentaneamente, então nesse instante a energia cinética também é zero. Assim toda a energia potencial gravitacional inicial foi transformada em energia potencial elástica armazenada na mola. Escrevemos essa conservação de energia.

Passo 3

Escrevendo a equação de conservação de energia entre o ponto inicial (topo da rampa) e o ponto de máxima compressão da mola:
m g h = \tfrac{1}{2} k x^2.
Explicando cada termo:
  • m é a massa do bloco (em \mathrm{kg}).
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}). Usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • h é a altura que queremos (em \mathrm{m}).
  • \tfrac{1}{2} k x^2 é a energia potencial elástica armazenada na mola quando comprimida de x (em \mathrm{J}).
    Motivo da igualdade: energia cinética inicial e final são zero, e não há perdas, então toda energia gravitacional vira energia elástica.

Passo 4

Isolando h na equação:
h=\frac{\tfrac{1}{2} k x^2}{m g}.
Agora vamos calcular passo a passo o numerador e o denominador para não errar nas contas.

Passo 5

Calcular x^2. Temos x=0,542\\ \mathrm{m}. Então
x^2 = 0,542^2 = 0,293764.
Expliquei: basta multiplicar 0{,}542\times0{,}542; fiz a conta e obtive 0{,}293764.

Passo 6

Calcular a energia elástica \tfrac{1}{2} k x^2:
\tfrac{1}{2} k x^2 = 0{,}5 \cdot 400 \cdot 0{,}293764.
Primeiro 400\cdot0{,}293764 = 117{,}5056. Depois multiplicando por 0{,}5:
\tfrac{1}{2} k x^2 = 58{,}7528\\ \mathrm{J}.
(Unidade: joules, porque N\cdot m = J.)

Passo 7

Calcular o denominador m g:
m g = 3{,}0 \cdot 9{,}8 = 29{,}4\\ \mathrm{kg\cdot m/s^2} = 29{,}4\\ \mathrm{N}.
Observação: kg\cdot m/s^2 é equivalente a newton ( \mathrm{N}), e na divisão energia/força dá metros, como esperado.

Passo 8

Agora calcular h:
h = \frac{58{,}7528}{29{,}4} = 1{,}9984\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma conveniente (e de acordo com as opções), temos h \approx 2{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificação rápida de consistência: energia elástica positiva, denominador razoável, e o resultado \sim 2{,}0\\ \mathrm{m} está entre as opções fornecidas. Portanto a alternativa correta é a que indica 2{,}0\\ \mathrm{m}.

Resposta

b) 2,0\\ \mathrm{m}

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