Um bloco de massa
é preso a uma mola horizontal que tem constante k de
. A mola é comprimida
e depois liberada do repouso.
(a) Calcule a velocidade do bloco conforme ele passa pela posição de equilíbrio x
se a superfície não tem atrito.
(b) Calcule a velocidade do bloco conforme ele passa pela posição de equilíbrio se uma força de atrito constante de 4,0 N retarda seu movimento a partir do momento em que é solto.
(a) Calcule a velocidade do bloco conforme ele passa pela posição de equilíbrio x
(b) Calcule a velocidade do bloco conforme ele passa pela posição de equilíbrio se uma força de atrito constante de 4,0 N retarda seu movimento a partir do momento em que é solto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de 1,6 kg preso numa mola horizontal com constante elástica de 1000 N/m. A mola é comprimida 2 cm e solta do repouso. Nosso objetivo é calcular a velocidade do bloco quando ele passa pela posição de equilíbrio (x = 0) em duas situações: sem atrito e com uma força constante de atrito de 4 N. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia elástica e cinética, além das leis do movimento com atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação sem atrito (parte a). Quando a mola é comprimida, ela armazena energia elástica. Ao ser liberada, essa energia se transforma em energia cinética do bloco. A energia elástica armazenada na mola é dada pela fórmula:
onde $ k $ é a constante da mola e $ x $ é a compressão.
Passo 3
A energia cinética do bloco quando passa pela posição de equilíbrio é:
onde $ m $ é a massa do bloco e $ v $ é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 4
Como não há atrito, toda a energia elástica se transforma em energia cinética. Então, igualamos as duas energias:
Passo 5
Podemos simplificar a equação cancelando o $ \frac{1}{2} $ dos dois lados:
Passo 6
Agora, isolamos $ v $:
Passo 7
Vamos substituir os valores: $ k = 1000 , N/m $, $ x = 2,0 , cm = 0,02 , m $, e $ m = 1,6 , kg $:
Passo 8
Calculando dentro da raiz:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b), onde há uma força de atrito constante de 4,0 N atuando contra o movimento. Nesse caso, além da energia elástica e cinética, precisamos considerar o trabalho realizado pela força de atrito.
Passo 10
O trabalho da força de atrito é dado por:
onde $ F_{atrito} $ é a força de atrito e $ d $ é a distância sobre a qual ela atua. No caso, a distância é a compressão da mola, que é 0,02 m.
Passo 11
Substituindo os valores:
Passo 12
Agora, a energia elástica fornece energia para a energia cinética e também realiza o trabalho contra o atrito. Então, temos:
Passo 13
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 14
Calculando a energia elástica:
Então:
Passo 15
Isolando $ v^2 $:
Passo 16
Dividindo ambos os lados por 0,8:
Passo 17
Tirando a raiz quadrada:
Resposta
(a) A velocidade do bloco na posição de equilíbrio, sem atrito, é de 0,5 m/s.
(b) A velocidade do bloco na posição de equilíbrio, com uma força de atrito de 4,0 N, é de aproximadamente 0,387 m/s.