Um bloco de massa M=5,4 kg, em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante k=600 N / m, figura 08 . Uma bala de massa m=9,5 g e velocidade de módulo v=630 m / s atinge o bloco e fica retido nele. Supondo que a compressão da mola é desprezível até a bala se alojar no bloco, determine
8a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão
8b) a amplitude mo MHS resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de 5,4 kg ligado a uma mola com constante 600 N/m. Uma bala de 9,5 g (que é 0,0095 kg) com velocidade de 630 m/s atinge o bloco e fica grudada nele. Primeiro, vamos identificar que tipo de matéria estamos lidando aqui: conservação de momento e movimento harmônico simples (MHS). Precisaremos usar as leis de conservação de momento para achar a velocidade do bloco após a colisão e depois aplicar conceitos de energia para encontrar a amplitude do movimento harmônico que acontece depois.

Passo 2

Vamos começar pelo item 8a, que pede para encontrar a velocidade do bloco imediatamente após a colisão. Quando a bala colide e fica presa no bloco, isso é chamado de colisão inelástica. Nessa situação, a quantidade de movimento (ou momento linear) do sistema é conservada, ou seja, o momento antes da colisão é igual ao momento depois da colisão.
A fórmula da conservação do momento é:
m cdot v = (M + m) cdot V
Onde:
  • $ m $ é a massa da bala,
  • $ v $ é a velocidade da bala antes da colisão,
  • $ M $ é a massa do bloco,
  • $ V $ é a velocidade do sistema bloco-bala após a colisão que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
0,0095 , kg cdot 630 , m/s = (5,4 , kg + 0,0095 , kg) cdot V
Calculando o lado esquerdo:
0,0095 times 630 = 5,985 , kg cdot m/s
E o lado direito:
5,4 + 0,0095 = 5,4095 , kg
Então, temos:
5,985 = 5,4095 cdot V

Passo 4

Agora, vamos isolar $ V $ para encontrar a velocidade do bloco após a colisão:
V

Passo 5

Prontinho, encontramos a velocidade do bloco imediatamente após a colisão! Agora, vamos para o item 8b, que pede a amplitude do Movimento Harmônico Simples (MHS) resultante.
Quando a bala se aloja no bloco e o sistema começa a oscilar, a energia cinética inicial do sistema pode ser transformada em energia potencial elástica armazenada na mola na posição de máxima compressão, que é a amplitude $ A $ do movimento.
A energia cinética após a colisão é dada por:
A
E a energia potencial máxima da mola é:
Ec = 12 (M + m) V^2
Como a energia é conservada nesse processo (sem atrito), podemos igualar essas duas expressões:
Ep = 12 k A^2

Passo 6

Vamos simplificar a equação cancelando o $ \frac{1}{2} $ dos dois lados:
12
Agora, vamos isolar $ A $:
(M + m) V^2 = k A^2

Passo 7

Substituindo os valores:
A = 1,104 , m/s times raiz5,4 , kg + 0,0095 , kg600 , N/m
Calculando o numerador dentro da raiz:
5,4 + 0,0095 = 5,4095 , kg
Então:
A = 1,104 times raiz5,4095600 approx 1,104 times raiz0,009016 approx 1,104 times 0,0952 approx 0,105 , m

Resposta

8a) A velocidade do bloco imediatamente após a colisão é aproximadamente 1,104 m/s.
8b) A amplitude do Movimento Harmônico Simples resultante é aproximadamente 0,105 metros.

Exercícios relacionados