Um bloco de massa
é solto, a partir do repouso, em um plano inclinado de ângulo
que percorrerá até a horizontal, com coeficiente de atrito cinético
.
a) Qual a compressão total sofrida pela mola até o bloco parar?
b) Qual a velocidade do bloco no momento em que entra em contato com a mola?
c) Se o coeficiente de atrito estático com o plano é de
, o bloco continua parado ou começa a subir o plano inclinado depois de parar completamente?
a) Qual a compressão total sofrida pela mola até o bloco parar?
b) Qual a velocidade do bloco no momento em que entra em contato com a mola?
c) Se o coeficiente de atrito estático com o plano é de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de massa $ m = 10 , kg $ que vai deslizar por um plano inclinado com um ângulo $ \theta $. O bloco começa do repouso e encontra atrito no caminho, com coeficiente de atrito cinético $ \mu_c = 0,5 $. Temos que resolver três partes:
a) Descobrir quanto a mola será comprimida quando o bloco parar.
b) Encontrar a velocidade do bloco quando ele tocar na mola.
c) Verificar se, ao parar, o bloco consegue ou não subir de volta pelo plano inclinado, considerando um coeficiente de atrito estático $ \mu_s = 0,8 $.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia, forças em planos inclinados e atrito.
a) Descobrir quanto a mola será comprimida quando o bloco parar.
b) Encontrar a velocidade do bloco quando ele tocar na mola.
c) Verificar se, ao parar, o bloco consegue ou não subir de volta pelo plano inclinado, considerando um coeficiente de atrito estático $ \mu_s = 0,8 $.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia, forças em planos inclinados e atrito.
Passo 2
Vamos começar analisando as forças atuantes no bloco enquanto ele desliza pelo plano inclinado. As forças principais são:
- A força da gravidade ($ mg $), que puxa o bloco para baixo.
- A força normal ($ N $), que é perpendicular ao plano.
- A força de atrito ($ f $), que se opõe ao movimento.
A componente da gravidade que age ao longo do plano é $ mg \sin(\theta) $, e a normal é $ mg \cos(\theta) $. A força de atrito cinético é $ f = \mu_c N = \mu_c mg \cos(\theta) $.
Passo 3
Para a parte (b), queremos saber a velocidade do bloco ao entrar em contato com a mola. Vamos usar o princípio da conservação de energia. A energia inicial é potencial gravitacional, e a energia final é a cinética mais o trabalho realizado contra o atrito.
A energia inicial é $ E_i = mgh $, onde $ h = L \sin(\theta) $ e $ L $ é o comprimento do plano. A energia final, quando o bloco toca a mola, é $ E_f = \frac{1}{2}mv^2 $. O trabalho do atrito é $ W = f \cdot L = \mu_c mg \cos(\theta) L $.
Então, $ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + W $. Resolvendo para $ v $:
Passo 4
Agora, para a parte (a), queremos a compressão total da mola até o bloco parar. Quando o bloco para, toda a energia cinética convertida em energia potencial da mola e o trabalho do atrito.
A energia na mola é $ \frac{1}{2}k x^2 $, onde $ k $ é a constante da mola e $ x $ é a compressão. A energia cinética inicial é convertida dessa forma:
Onde $ W’ = \mu_c mg \cos(\theta) \cdot d $, com $ d $ sendo a distância comprimida pela mola. Supondo que toda a energia cinética vai para comprimir a mola:
Então, a compressão $ x $ é:
Passo 5
Por fim, na parte ©, precisamos verificar se o bloco vai subir de volta pelo plano inclinado após parar na mola. Para isso, comparamos a força de atrito estático com a força de tendência a subir.
A força de atrito estático máxima é $ f_s = \mu_s N = \mu_s mg \cos(\theta) $.
A força que tenta puxar o bloco para cima é a componente da força da mola, $ kx \cos(\theta) $.
Se $ kx \cos(\theta) > \mu_s mg \cos(\theta) $, o bloco consegue subir. Caso contrário, ele permanece parado.
Resposta
a) A compressão total da mola até o bloco parar é $ x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} $.
b) A velocidade do bloco ao entrar em contato com a mola é $ v = \sqrt{2gh - 2\mu_c g \cos(\theta) L} $.
c) O bloco continuará parado se $ kx \cos(\theta) \leq \mu_s mg \cos(\theta) $, e começará a subir se $ kx \cos(\theta) > \mu_s mg \cos(\theta) $.