Uma esfera de massa m suspensa numa corda, movendo-se com velocidade constante descreve uma trajetoria circular. A corda forma um angulo theta com a horizontal.
(1,0) Determine a tensão da corda em termos das variavels do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de massa m pendurada numa corda que está se movendo em velocidade constante, fazendo um movimento circular. A corda forma um ângulo theta com a horizontal. O que a gente precisa descobrir é a tensão da corda ( T) em função das variáveis que temos aqui. Vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão atuando na esfera. Temos duas forças principais:
  1. Força da gravidade ( mg): Puxa a esfera para baixo.
  2. Tensão na corda ( T): Tem duas componentes porque a corda está inclinada:
    • Componente vertical ( Ty): Contrabalança a força da gravidade.
    • Componente horizontal ( Tx): Provoca a força centrípeta que mantém a esfera em movimento circular.

Passo 3

Vamos decompor a tensão da corda em suas componentes. Como a corda faz um ângulo theta com a horizontal:
  • A componente vertical da tensão é Ty = T cdot sin(theta).
  • A componente horizontal da tensão é Tx = T cdot cos(theta).

Passo 4

Agora, analisando o equilíbrio vertical. A esfera está se movendo em velocidade constante e não está se movendo para cima ou para baixo, então as forças verticais se equilibram:
Ty = mg
Substituindo Ty pela expressão que encontramos:
T cdot sin(theta) = mg

Passo 5

Em seguida, analisamos a força centrípeta que mantém a esfera em movimento circular. A força centrípeta ( Fc) é fornecida pela componente horizontal da tensão:
Fc = Tx = T cdot cos(theta)
Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa como:
Fc = mv^2r
onde:
  • m é a massa da esfera,
  • v é a velocidade constante,
  • r é o raio da trajetória circular.

Passo 6

Igualando as duas expressões para a força centrípeta:
T cdot cos(theta) = mv^2r
Agora, queremos encontrar a tensão T, então vamos isolar T nessa equação:
T = mv^2r cdot cos(theta)

Passo 7

Mas lembrando da equação do equilíbrio vertical que encontramos anteriormente:
T cdot sin(theta) = mg
Podemos usar essa equação para expressar r em termos de theta e do comprimento da corda L (se for necessário), mas como o enunciado não fornece mais informações, mantemos a expressão atual para T em função das variáveis fornecidas.

Resposta

A tensão na corda é dada por:
T = mv^2r cdot cos(theta)

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