Uma esfera de massa
suspensa numa corda, movendo-se com velocidade constante descreve uma trajetoria circular. A corda forma um angulo
com a horizontal.
Determine a tensão da corda em termos das variavels do problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de massa
pendurada numa corda que está se movendo em velocidade constante, fazendo um movimento circular. A corda forma um ângulo
com a horizontal. O que a gente precisa descobrir é a tensão da corda (
) em função das variáveis que temos aqui. Vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que estão atuando na esfera. Temos duas forças principais:
- Força da gravidade (
): Puxa a esfera para baixo. - Tensão na corda (
): Tem duas componentes porque a corda está inclinada: - Componente vertical (
): Contrabalança a força da gravidade. - Componente horizontal (
): Provoca a força centrípeta que mantém a esfera em movimento circular.
- Componente vertical (
Passo 3
Vamos decompor a tensão da corda em suas componentes. Como a corda faz um ângulo
com a horizontal:
- A componente vertical da tensão é
. - A componente horizontal da tensão é
.
Passo 4
Agora, analisando o equilíbrio vertical. A esfera está se movendo em velocidade constante e não está se movendo para cima ou para baixo, então as forças verticais se equilibram:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Em seguida, analisamos a força centrípeta que mantém a esfera em movimento circular. A força centrípeta (
) é fornecida pela componente horizontal da tensão:
Sabemos que a força centrípeta também pode ser expressa como:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a velocidade constante, -
é o raio da trajetória circular.
Passo 6
Igualando as duas expressões para a força centrípeta:
Agora, queremos encontrar a tensão
, então vamos isolar
nessa equação:
Passo 7
Mas lembrando da equação do equilíbrio vertical que encontramos anteriormente:
Podemos usar essa equação para expressar
em termos de
e do comprimento da corda
(se for necessário), mas como o enunciado não fornece mais informações, mantemos a expressão atual para
em função das variáveis fornecidas.
Resposta
A tensão na corda é dada por: