Considere o problema de
corpos em interação gravitacional do ponto de vista do sistema de referência do centro de massa. A hamiltoniana é dada por
, onde
e
(i) Introduza a quantidade
e prove que
. Sugestão: comprove que
é uma função homogênea e aplique o teorema de Euler do Apêndice B. (ii) Levando em conta que
é uma quantidade sempre positiva, prove, fazendo duas integrações sucessivas, que
. Conclua, finalmente, que se a energia total for positiva pelo menos um dos corpos escapará para o infinito no limite
.
Passo 1
O enunciado trata do problema de
corpos que interagem gravitacionalmente, descrito pela hamiltoniana
onde
Introduzimos
e precisamos (i) mostrar que
, usando que
é homogênea de grau
e o teorema de Euler; (ii) integrar duas vezes a desigualdade resultante para obter
e concluir que se
pelo menos um corpo escapa para
.
Conteúdos necessários: derivadas temporais em mecânica hamiltoniana, teorema de Euler para funções homogêneas e integração de desigualdades.
Conteúdos necessários: derivadas temporais em mecânica hamiltoniana, teorema de Euler para funções homogêneas e integração de desigualdades.
Passo 2
Calculemos
e
.
Em primeiro lugar,
Em primeiro lugar,
pois
.
Tomando mais uma derivada temporal,
Tomando mais uma derivada temporal,
Mas pelas equações hamiltonianas
, então
Passo 3
Usamos agora o teorema de Euler: se
, então
No nosso caso
é homogênea de grau
, pois cada termo
escala com
. Logo
Substituindo em
obtém-se
Passo 4
Como
, temos
Integrando de
a
:
Integramos novamente:
de onde
Passo 5
Se
, o termo
cresce sem limite quando
, o que obriga
. Logo pelo menos uma das posições
deve crescer sem limite, ou seja, ao menos um corpo escapa para o infinito.
Resposta
(i)
.
(ii) . Se
, pelo menos um corpo escapa para o infinito quando
.
(ii)