Uma partícula de massa
está inicialmente em repouso em um plano com ângulo de inclinação dado por
. Escolha as coordenadas generalizadas apropriadas e obtenha as equações de movimento.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa
que está inicialmente parada em um plano inclinado. A inclinação desse plano muda com o tempo, conforme a equação
. Nosso objetivo é escolher coordenadas generalizadas adequadas e derivar as equações de movimento dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente coordenadas generalizadas e as leis do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher as coordenadas generalizadas. Como o plano está inclinado e sua inclinação muda com o tempo, é conveniente usar as coordenadas que se adaptam ao movimento da partícula no plano. Vamos usar a distância
percorrida pela partícula ao longo do plano como nossa coordenada generalizada.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a inclinação do plano com a posição da partícula. A inclinação do plano é dada por
, o que significa que o ângulo muda uniformemente com o tempo. Isso afetará a componente gravitacional que atua na direção do plano.
Passo 4
Vamos considerar as forças atuantes na partícula. A principal força é a gravidade, com componente
ao longo do plano. Como o plano está inclinando, essa componente muda com o tempo. Além disso, se houver atrito, também precisaríamos considerá-lo, mas como não foi mencionado, vamos supor que não há atrito.
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton na direção do plano. A aceleração da partícula será então:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula ao longo do plano inclinado com inclinação variável.
Resposta
A equação de movimento da partícula é: