Uma partícula de massa m está inicialmente em repouso em um plano com ângulo de inclinação dado por theta=alpha t. Escolha as coordenadas generalizadas apropriadas e obtenha as equações de movimento.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa m que está inicialmente parada em um plano inclinado. A inclinação desse plano muda com o tempo, conforme a equação theta = alpha t. Nosso objetivo é escolher coordenadas generalizadas adequadas e derivar as equações de movimento dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente coordenadas generalizadas e as leis do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher as coordenadas generalizadas. Como o plano está inclinado e sua inclinação muda com o tempo, é conveniente usar as coordenadas que se adaptam ao movimento da partícula no plano. Vamos usar a distância s percorrida pela partícula ao longo do plano como nossa coordenada generalizada.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a inclinação do plano com a posição da partícula. A inclinação do plano é dada por theta = alpha t, o que significa que o ângulo muda uniformemente com o tempo. Isso afetará a componente gravitacional que atua na direção do plano.

Passo 4

Vamos considerar as forças atuantes na partícula. A principal força é a gravidade, com componente mgsintheta ao longo do plano. Como o plano está inclinando, essa componente muda com o tempo. Além disso, se houver atrito, também precisaríamos considerá-lo, mas como não foi mencionado, vamos supor que não há atrito.

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton na direção do plano. A aceleração da partícula será então:
m d^2 sdt^2 = mg sintheta
Substituindo theta = alpha t, temos:
m d^2 sdt^2 = mg sin(alpha t)

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por m:
d^2 sdt^2 = g sin(alpha t)
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula ao longo do plano inclinado com inclinação variável.

Resposta

A equação de movimento da partícula é:
d^2 sdt^2 = g sin(alpha t)

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