Um bloco de massa m_{1} está ligado a um bloco de massa m_{2} por meio de uma corda de massa desprezível. Os dois blocos estão apoiados sobre um plano inclinado que forma um ângulo \theta com a horizontal. Suponha que não haja atrito entre os blocos e o plano. Determine: (a) o valor da aceleração de cada bloco, (b) o valor da tensão na corda.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que a gente tem que achar:
  • Dados:
    • Dois blocos com massas \,m_1 e \,m_2.
    • Os blocos estão apoiados sobre um mesmo plano inclinado que faz um ângulo \,\theta com a horizontal.
    • Os blocos estão ligados por uma corda de massa desprezível.
    • Não há atrito entre os blocos e o plano.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o valor da aceleração de cada bloco.
    • (b) Determinar o valor da tensão na corda.

Passo 2

Primeiro vamos modelar fisicamente o problema e escolher sinais. Como a corda é de massa desprezível e fixa entre os blocos, a tensão é a mesma em toda a corda e os dois blocos têm a mesma aceleração em módulo (um sobe enquanto o outro desce). Para fixar sinais, suponha que o bloco \,m_2 tende a descer o plano e, portanto, defina:
  • para \,m_2: direção positiva = para baixo ao longo do plano;
  • para \,m_1: direção positiva = para cima ao longo do plano (assim a aceleração do \,m_1 será +a se ele subir quando \,m_2 descer).
    Chamaremos a aceleração comum de \,a (positiva quando \,m_2 desce e \,m_1 sobe).

Passo 3

Identificando as forças relevantes: para cada bloco, as únicas forças ao longo do plano são a componente do peso paralela ao plano e a tensão \,T na corda. Não há atrito. A componente do peso de um bloco ao longo do plano é \,m g \sin\theta (explicando rápido: o peso é m g vertical; ao decompor ao longo do eixo paralelo ao plano o fator trigonométrico que aparece é \sin\theta). A componente perpendicular ao plano é \,m g \cos\theta, que gera a reação normal, mas como não há movimento perpendicular, essa força só equilibra a normal e não entra nas equações de movimento ao longo do plano.

Passo 4

Escrevendo a segunda lei de Newton ( \sum F = m a) para cada bloco, com os sinais definidos:
Para \,m_1 (positivo para cima ao longo do plano):
T - m_1 g \sin\theta = m_1 a.
Aqui \,T puxa \,m_1 para cima e m_1 g\sin\theta puxa para baixo.
Para \,m_2 (positivo para baixo ao longo do plano):
m_2 g \sin\theta - T = m_2 a.
Aqui m_2 g\sin\theta puxa \,m_2 para baixo e \,T puxa para cima.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações. A vantagem é somá-las para eliminar T. Somando:
\bigl(T - m_1 g \sin\theta\bigr) + \bigl(m_2 g \sin\theta - T\bigr) \;=\; m_1 a + m_2 a.
No lado esquerdo os T se cancelam, restando
(m_2 - m_1) g \sin\theta = (m_1 + m_2) a.
Logo a aceleração comum é
a = \frac{(m_2 - m_1)\,g\sin\theta}{m_1 + m_2}.
Interpretação rápida: se m_2>m_1 então a>0 e \,m_2 desce enquanto \,m_1 sobe; se m_1>m_2 a direção do movimento é invertida (o valor de a fica negativo com a convenção adotada).

Passo 6

Agora achamos a tensão T. Podemos usar qualquer uma das duas equações originais; uso a da massa \,m_2:
m_2 g \sin\theta - T = m_2 a.
Isolando T:
T = m_2 g \sin\theta - m_2 a.
Substituindo a pela expressão encontrada:
T = m_2 g \sin\theta - m_2\!\left(\frac{(m_2 - m_1) g\sin\theta}{m_1 + m_2}\right).
Colocando g\sin\theta em evidência e fazendo a álgebra:
T = g\sin\theta\; \frac{m_2(m_1 + m_2) - m_2(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2} = g\sin\theta\; \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}.
Ou seja,
T = \frac{2\,m_1 m_2}{m_1 + m_2}\; g \sin\theta.

Passo 7

Checagem rápida por casos especiais (para ter confiança): se m_1=m_2=m, então a=0 (os dois tendem a permanecer em equilíbrio relativo) e
T = \frac{2 m m}{2m}\, g\sin\theta = m g\sin\theta,
o que faz sentido: a tensão equilibra a componente do peso de cada bloco.

Resposta

a = \dfrac{(m_2 - m_1)\,g\sin\theta}{m_1 + m_2}\n
T = \dfrac{2\,m_1 m_2}{m_1 + m_2}\; g \sin\theta

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