Um bloco de massa
está ligado a um bloco de massa
por meio de uma corda de massa desprezível. Os dois blocos estão apoiados sobre um plano inclinado que forma um ângulo
com a horizontal. Suponha que não haja atrito entre os blocos e o plano. Determine: (a) o valor da aceleração de cada bloco, (b) o valor da tensão na corda.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que a gente tem que achar:
- Dados:
- Dois blocos com massas
e . - Os blocos estão apoiados sobre um mesmo plano inclinado que faz um ângulo
com a horizontal. - Os blocos estão ligados por uma corda de massa desprezível.
- Não há atrito entre os blocos e o plano.
- Dois blocos com massas
- Perguntas:
- (a) Determinar o valor da aceleração de cada bloco.
- (b) Determinar o valor da tensão na corda.
Passo 2
Primeiro vamos modelar fisicamente o problema e escolher sinais. Como a corda é de massa desprezível e fixa entre os blocos, a tensão é a mesma em toda a corda e os dois blocos têm a mesma aceleração em módulo (um sobe enquanto o outro desce). Para fixar sinais, suponha que o bloco
tende a descer o plano e, portanto, defina:
- para
: direção positiva = para baixo ao longo do plano; - para
: direção positiva = para cima ao longo do plano (assim a aceleração do será se ele subir quando descer).
Chamaremos a aceleração comum de(positiva quando desce e sobe).
Passo 3
Identificando as forças relevantes: para cada bloco, as únicas forças ao longo do plano são a componente do peso paralela ao plano e a tensão
na corda. Não há atrito. A componente do peso de um bloco ao longo do plano é
(explicando rápido: o peso é
vertical; ao decompor ao longo do eixo paralelo ao plano o fator trigonométrico que aparece é
). A componente perpendicular ao plano é
, que gera a reação normal, mas como não há movimento perpendicular, essa força só equilibra a normal e não entra nas equações de movimento ao longo do plano.
Passo 4
Escrevendo a segunda lei de Newton (
) para cada bloco, com os sinais definidos:
Para
(positivo para cima ao longo do plano):
Aqui
puxa
para cima e
puxa para baixo.
Para
(positivo para baixo ao longo do plano):
Aqui
puxa
para baixo e
puxa para cima.
Passo 5
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações. A vantagem é somá-las para eliminar
. Somando:
No lado esquerdo os
se cancelam, restando
Logo a aceleração comum é
Interpretação rápida: se
então
e
desce enquanto
sobe; se
a direção do movimento é invertida (o valor de
fica negativo com a convenção adotada).
Passo 6
Agora achamos a tensão
. Podemos usar qualquer uma das duas equações originais; uso a da massa
:
Isolando
:
Substituindo
pela expressão encontrada:
Colocando
em evidência e fazendo a álgebra:
Ou seja,
Passo 7
Checagem rápida por casos especiais (para ter confiança): se
, então
(os dois tendem a permanecer em equilíbrio relativo) e
o que faz sentido: a tensão equilibra a componente do peso de cada bloco.