Um bloco inicialmente em repouso, de massa m , encontra-se sobre uma superficie horizontal. Aplica-se sobre ele uma força de módulo 0,600 \mathrm{mg}, formando um ângulo \theta=25^{\circ} acima da horizontal. Determine o módulo da aceleração do bloco no caso: \mu_{\mathrm{e}}=0,50 e \mu_{\mathrm{d}}=0,40

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo da aceleração de um bloco inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal quando sobre ele age uma força oblíqua. Dados fornecidos:
  • força aplicada: \,F=0{,}600\,m g,
  • ângulo da força com a horizontal: \,\theta=25^\circ,
  • coeficiente de atrito estático: \,\mu_{\mathrm{e}}=0{,}50,
  • coeficiente de atrito dinâmico (cinético): \,\mu_{\mathrm{d}}=0{,}40,
  • massa do bloco: \,m (presente na expressão da força) e aceleração da gravidade \,g.

    Pergunta: determinar o módulo da aceleração \,a do bloco (se permanece em repouso, então a=0; caso contrário, calcular a).

Passo 2

Primeiro vamos decompor a força aplicada em componentes horizontal e vertical. Isso é básico: para uma força F que faz ângulo \theta acima da horizontal, a componente horizontal é F\cos\theta e a vertical (para cima) é F\sin\theta. Aqui
F_x = F\cos\theta = 0{,}600\,m g\cos\theta,
F_y = F\sin\theta = 0{,}600\,m g\sin\theta.
Explicação rápida: \cos\theta multiplica a força para obter a parte que “aponta” horizontalmente; \sin\theta dá a parte que aponta verticalmente.

Passo 3

Calcular a normal N. Na direção vertical não há aceleração (o bloco não sai do chão), então soma das forças verticais é zero:
N + F_y - m g = 0.
Isolando N,
N = m g - F_y = m g - 0{,}600\,m g\sin\theta = m g\bigl(1 - 0{,}600\sin\theta\bigr).
Interpretação: a componente vertical da força reduz um pouco a carga sobre o plano, diminuindo a normal.

Passo 4

Verificar se a força horizontal vence o atrito estático máximo. A máxima força de atrito estático possível é
f_{s,\max} = \mu_{\mathrm{e}} N = \mu_{\mathrm{e}}\, m g\bigl(1 - 0{,}600\sin\theta\bigr).
Para comparar com F_x é conveniente dividir tudo por m g (o m g cancela):
comparar
0{,}600\cos\theta \quad\text{com}\quad \mu_{\mathrm{e}}\bigl(1 - 0{,}600\sin\theta\bigr).
Agora substituímos \theta=25^\circ. Valores trigonométricos (aprox.):
\cos25^\circ\approx 0{,}906308 e \sin25^\circ\approx 0{,}422618.
Calculemos:
0{,}600\cos25^\circ \approx 0{,}600\times 0{,}906308 = 0{,}543785,
\mu_{\mathrm{e}}\bigl(1 - 0{,}600\sin25^\circ\bigr) = 0{,}50\bigl(1 - 0{,}600\times 0{,}422618\bigr) = 0{,}50\times 0{,}746429 \approx 0{,}373215.
Conclusão: 0{,}543785 > 0{,}373215. Ou seja, a componente horizontal da força é maior que o atrito estático máximo, então o bloco vence o atrito estático e começa a mover-se. Portanto devemos usar o atrito cinético para achar a aceleração.

Passo 5

Quando o bloco já está em movimento, a força de atrito que age é a cinética
f_k = \mu_{\mathrm{d}} N = \mu_{\mathrm{d}}\, m g\bigl(1 - 0{,}600\sin\theta\bigr),
sempre dirigida oposta ao movimento (ou seja, oposta à F_x). A segunda lei em x dá:
F_x - f_k = m a.
Substituindo F_x e f_k e dividindo por m, obtemos uma expressão para a que elimina m:
a = \frac{F_x - f_k}{m} = 0{,}600\,g\cos\theta - \mu_{\mathrm{d}}\,g\bigl(1 - 0{,}600\sin\theta\bigr).
Aqui é útil ver que g permanece; o m cancela em todas as parcelas.

Passo 6

Agora substituímos os números: \theta=25^\circ, \mu_{\mathrm{d}}=0{,}40 e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Primeiro calculamos os coeficientes sem multiplicar por g:
0{,}600\cos25^\circ \approx 0{,}543785,
\mu_{\mathrm{d}}\bigl(1 - 0{,}600\sin25^\circ\bigr) = 0{,}40\times 0{,}746429 \approx 0{,}298572.
A diferença (fator multiplicando g) é
0{,}543785 - 0{,}298572 = 0{,}245213.
Multiplicando por g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
a \approx 0{,}245213\times 9{,}8 \approx 2{,}40\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: a aceleração é positiva (para a direita) e tem módulo aproximadamente 2{,}40\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

a = 2{,}40\\ \mathrm{m/s^{2}}

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