Questão 2 - Usando a Lei de Conservação da Energia Mecânica e considerando a energia cinética de rotação associada ao movimento, mostre que o alcance
(alcance com rotação) da esfera, quando largada de uma altura
na rampa de lançamentos é dado por:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o alcance com rotação da esfera, quando ela é largada de uma altura
na rampa de lançamentos, é
Informações fornecidas (ou que precisamos assumir explicitamente, pois são padrão nesse tipo de problema):
- A esfera desce a rampa convertendo energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e em energia cinética de rotação até o ponto de lançamento.
- No ponto de lançamento a esfera deixa a rampa com velocidade tangencial
e é projetada horizontalmente a partir de uma altura acima do solo. - A esfera é sólida (logo seu momento de inércia é conhecido).
- Há rolamento sem deslizamento durante a descida (logo existe a relação
entre velocidade linear e velocidade angular). - A aceleração da gravidade é
.
Dados que vamos usar explicitamente (e que vêm da física da esfera):
- Momento de inércia de uma esfera sólida em torno de seu centro:
. - Energia potencial inicial (relativa ao solo do lançamento) é
(transferida para energia cinética durante a descida). - Energia cinética total ao final da rampa é soma da translacional e da rotacional:
Passo 2
Converter energia potencial em energia cinética: explique por que e derive a velocidade
ao final da rampa.
A ideia básica: ao descer a altura
a energia potencial gravitacional
se transforma na energia cinética total da esfera no fundo (desprezando perdas por atrito que não faça trabalho dissipativo e atrito que apenas causa rolamento sem escorregamento). Escrevemos a conservação de energia:
Agora usamos duas fórmulas que preciso que você entenda bem:
- Energia cinética de translação:
. Aqui é a massa da esfera e sua velocidade do centro de massa. - Energia cinética de rotação:
. Aqui é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação (no caso, eixo passando pelo centro) e é a velocidade angular.
Como a esfera rola sem deslizar, vale a relação entre velocidade linear e angular:
onde
é o raio da esfera.
Substituímos
da esfera sólida e
em função de
:
Logo
Assim a energia cinética total fica
Voltando à conservação de energia:
Cancelamos
e resolvemos para
:
Portanto a velocidade de lançamento (velocidade do centro da esfera no ponto de saída da rampa) é
Comentário didático curto: o fator
vem da parcela extra de energia armazenada na rotação; se não houvesse rotação (por exemplo se deslizasse sem giro), teríamos
.
Passo 3
Movimento de projeção horizontal: tempo de queda a partir de altura
.
No enunciado a esfera é lançada a partir da altura
com velocidade horizontal
. O movimento vertical é independente do horizontal e, assumindo que no ponto de lançamento a componente vertical da velocidade é zero, o tempo que leva para cair do ponto de lançamento até o solo é obtido pela equação do movimento uniformemente acelerado na vertical:
A queda termina quando
, então
Esse é o tempo de voo até atingir o solo.
Passo 4
Alcance horizontal: produto da velocidade horizontal pelo tempo de voo.
Como a velocidade inicial é horizontal e igual a
, e não há aceleração horizontal (we neglect air resistance), o alcance horizontal
é
Substituímos
(obtido no Passo 2) e
(obtido no Passo 3):
Agora simplificamos cuidadosamente (preste atenção para ver como os
se cancelam parcialmente):
Podemos escrever
. Portanto
Passo 5
Verificação rápida de consistência e comentário prático.
- Dimensionalmente:
e têm dimensão de comprimento; tem dimensão de comprimento, então o resultado tem dimensão correta. - Limites: se a rotação fosse desprezível (ou se fosse uma partícula que deslizasse sem rotação), teríamos outro fator numérico — a rotação reduz a velocidade translacional disponível, portanto o alcance com rotação é menor do que o caso sem rotação.
- Observação: usamos momento de inércia de esfera sólida. Se a esfera fosse oca, o fator numérico mudaria porque
seria diferente.