Questão 2 - Usando a Lei de Conservação da Energia Mecânica e considerando a energia cinética de rotação associada ao movimento, mostre que o alcance A_{C R} (alcance com rotação) da esfera, quando largada de uma altura y na rampa de lançamentos é dado por:
A_{C R}=2 \sqrt{\frac{5}{7} y h}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o alcance com rotação da esfera, quando ela é largada de uma altura \,y na rampa de lançamentos, é
A_{C R}=2 \sqrt{\frac{5}{7} y h}.
Informações fornecidas (ou que precisamos assumir explicitamente, pois são padrão nesse tipo de problema):
  • A esfera desce a rampa convertendo energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e em energia cinética de rotação até o ponto de lançamento.
  • No ponto de lançamento a esfera deixa a rampa com velocidade tangencial \,v e é projetada horizontalmente a partir de uma altura \,h acima do solo.
  • A esfera é sólida (logo seu momento de inércia é conhecido).
  • Há rolamento sem deslizamento durante a descida (logo existe a relação \,v=\omega r entre velocidade linear e velocidade angular).
  • A aceleração da gravidade é \,g.
Dados que vamos usar explicitamente (e que vêm da física da esfera):
  • Momento de inércia de uma esfera sólida em torno de seu centro: \displaystyle I=\frac{2}{5} m r^{2}.
  • Energia potencial inicial (relativa ao solo do lançamento) é \,m g y (transferida para energia cinética durante a descida).
  • Energia cinética total ao final da rampa é soma da translacional e da rotacional:
K_{\text{tot}}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I \omega^{2}.

Passo 2

Converter energia potencial em energia cinética: explique por que e derive a velocidade \,v ao final da rampa.
A ideia básica: ao descer a altura \,y a energia potencial gravitacional \,m g y se transforma na energia cinética total da esfera no fundo (desprezando perdas por atrito que não faça trabalho dissipativo e atrito que apenas causa rolamento sem escorregamento). Escrevemos a conservação de energia:
m g y = K_{\text{tot}} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}.
Agora usamos duas fórmulas que preciso que você entenda bem:
  1. Energia cinética de translação: \displaystyle K_{\text{trans}}=\frac{1}{2} m v^{2}. Aqui \,m é a massa da esfera e \,v sua velocidade do centro de massa.
  2. Energia cinética de rotação: \displaystyle K_{\text{rot}}=\frac{1}{2} I \omega^{2}. Aqui \,I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação (no caso, eixo passando pelo centro) e \,\omega é a velocidade angular.
Como a esfera rola sem deslizar, vale a relação entre velocidade linear e angular:
v=\omega r \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{r},
onde \,r é o raio da esfera.
Substituímos \,I da esfera sólida e \,\omega em função de \,v:
I=\frac{2}{5} m r^{2},\qquad \omega=\frac{v}{r}.
Logo
\frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5} m r^{2}\right)\left(\frac{v^{2}}{r^{2}}\right)=\frac{1}{5} m v^{2}.
Assim a energia cinética total fica
K_{\text{tot}}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{5} m v^{2}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)m v^{2}=\frac{7}{10} m v^{2}.
Voltando à conservação de energia:
m g y = \frac{7}{10} m v^{2}.
Cancelamos \,m e resolvemos para \,v^{2}:
v^{2} = \frac{10}{7} g y.
Portanto a velocidade de lançamento (velocidade do centro da esfera no ponto de saída da rampa) é
v=\sqrt{\frac{10}{7} g y}.
Comentário didático curto: o fator \displaystyle \frac{10}{7} vem da parcela extra de energia armazenada na rotação; se não houvesse rotação (por exemplo se deslizasse sem giro), teríamos v^{2}=2 g y.

Passo 3

Movimento de projeção horizontal: tempo de queda a partir de altura \,h.
No enunciado a esfera é lançada a partir da altura \,h com velocidade horizontal \,v. O movimento vertical é independente do horizontal e, assumindo que no ponto de lançamento a componente vertical da velocidade é zero, o tempo que leva para cair do ponto de lançamento até o solo é obtido pela equação do movimento uniformemente acelerado na vertical:
y_{\text{vertical}}(t) = h - \frac{1}{2} g t^{2}.
A queda termina quando y_{\text{vertical}}=0, então
0 = h - \frac{1}{2} g t^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{2h}{g}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Esse é o tempo de voo até atingir o solo.

Passo 4

Alcance horizontal: produto da velocidade horizontal pelo tempo de voo.
Como a velocidade inicial é horizontal e igual a \,v, e não há aceleração horizontal (we neglect air resistance), o alcance horizontal A_{C R} é
A_{C R} = v \, t.
Substituímos \,v (obtido no Passo 2) e \,t (obtido no Passo 3):
A_{C R} = \left(\sqrt{\frac{10}{7} g y}\right)\left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right).
Agora simplificamos cuidadosamente (preste atenção para ver como os \,g se cancelam parcialmente):
A_{C R} = \sqrt{\frac{10}{7} g y \cdot \frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{10}{7}\cdot 2 \cdot y h} = \sqrt{\frac{20}{7} \, y h }.
Podemos escrever \displaystyle \sqrt{\frac{20}{7}}=\sqrt{\frac{4\cdot 5}{7}}=2\sqrt{\frac{5}{7}}. Portanto
A_{C R}=2\sqrt{\frac{5}{7}\, y h }.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e comentário prático.
  • Dimensionalmente: \,y e \,h têm dimensão de comprimento; \sqrt{y h} tem dimensão de comprimento, então o resultado tem dimensão correta.
  • Limites: se a rotação fosse desprezível (ou se fosse uma partícula que deslizasse sem rotação), teríamos outro fator numérico — a rotação reduz a velocidade translacional disponível, portanto o alcance com rotação é menor do que o caso sem rotação.
  • Observação: usamos momento de inércia de esfera sólida. Se a esfera fosse oca, o fator numérico mudaria porque \,I seria diferente.

Resposta

A_{C R}=2 \sqrt{\frac{5}{7} y h}

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