Um caixote de 110 kg é empurrado com uma força horizontal
, de tal modo que, ele sobe com velocidade constante uma rampa sem atrito, inclinada de
. (a) Qual é a força horizontal
requerida? (b) Qual é a força exercida pela rampa sobre o caixote? (c) Qual seria a aceleração do caixote se o módulo da força horizontal fosse igual a 900 N ?
Passo 1
O enunciado dá um caixote de massa
sendo empurrado por uma força horizontal
ao longo de uma rampa sem atrito, inclinada de
. A rampa é sem atrito (força de atrito nula). Adoto a aceleração da gravidade
.\n
As perguntas são:
(a) Qual o módulo da força horizontal necessário para que o caixote suba a rampa com velocidade constante? (velocidade constante significa aceleração nula ao longo da rampa.)\n
(b) Qual é a força exercida pela rampa sobre o caixote (isto é, a normal ) quando a velocidade é constante?\n
(c) Se o módulo de for
, qual seria a aceleração do caixote (módulo e sentido ao longo da rampa)?
As perguntas são:
(a) Qual o módulo da força horizontal
(b) Qual é a força exercida pela rampa sobre o caixote (isto é, a normal
(c) Se o módulo de
Passo 2
Estratégia e escolha de eixos (explicação didática): desenhamos o diagrama de forças no caixote (diagrama de corpo livre). As forças relevantes são: o peso
(vertical para baixo), a força horizontal
(horizontal), e a força da rampa
(normal, perpendicular à superfície). Como a rampa é sem atrito, não há força tangencial de atrito.\n
Para facilitar as contas, escolhemos dois eixos: um eixo paralelo à rampa (positivo para cima da rampa) e um eixo
perpendicular à rampa (positivo para fora da superfície). A ideia é decompor peso e força horizontal nas direções
e
e aplicar as equações de Newton nessas direções.
Para facilitar as contas, escolhemos dois eixos: um eixo
Passo 3
Componentes do peso (aula breve): o peso é vertical para baixo de módulo
. Ao decompor em componentes nas direções definidas pela rampa com ângulo
entre a rampa e a horizontal, obtemos:\n
Componente do peso ao longo da rampa (para baixo da rampa):
\n
Componente do peso perpendicular à rampa (para dentro da rampa):
\n
Explicação rápida do porquê: se você desenhar o triângulo retângulo formado pelo vetor peso e as direções paralela/perpendicular, as razões trigonométricas dão essas componentes (a hipotenusa é
, o cateto paralelo tem seno, o cateto perpendicular tem cosseno).
Passo 4
Componentes da força horizontal
(aula breve):
é horizontal; a direção da rampa forma ângulo
com a horizontal. Projetando
na direção paralela à rampa e na direção perpendicular, obtemos:\n
Componente de
ao longo da rampa (para cima da rampa):
\n
Componente de
perpendicular à rampa (empurrando para dentro da rampa):
\n
Intuição: a projeção de um vetor horizontal sobre uma reta inclinada de ângulo
é
ao longo da reta; a componente perpendicular vem com
.
Passo 5
Resolução da parte (a) — força que garante velocidade constante: velocidade constante ao subir significa aceleração nula ao longo da rampa, portanto a soma das forças na direção
(paralela à rampa) é zero. Escrevendo a equação de equilíbrio nessa direção:\n
Isolando
:
\n
Agora calculamos numericamente com
,
e
.\n
Primeiro \n
Calculando .\n
Primeiro
Calculando
Logo
\n
Interpretação: um empurrão horizontal de aproximadamente
fornece a componente ao longo da rampa que compensa exatamente a componente do peso para baixo da rampa.
Passo 6
Resolução da parte (b) — força normal
: como não há aceleração perpendicular à superfície, a soma das forças na direção
(perpendicular) também é zero. Tomando positivo para fora da superfície:\n
Logo
\n
Substituímos o valor de
obtido na parte (a),
:\n
Simplificando a expressão trigonométrica:\n
Portanto
\n
Ou seja, quando
é o valor que mantém velocidade constante, a normal vale
.\n
Agora numericamente: , então
. Assim\n
Agora numericamente:
Passo 7
Resolução da parte (c) — aceleração quando
: agora
não é o valor de equilíbrio, então haverá aceleração ao longo da rampa. A equação de Newton na direção paralela dá:\n
Isolando
:
\n
Substituindo valores numéricos:
,
,
,
,
.\n
Calculamos as componentes:\n
Calculamos as componentes:\n
Diferença (força resultante ao longo da rampa):
\n
Portanto a aceleração é
\n
Sentido: positivo para cima da rampa, então
para cima da rampa.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) (para cima da rampa)
(b)
(c)