Um caixote de 110 kg é empurrado com uma força horizontal \vec{F}, de tal modo que, ele sobe com velocidade constante uma rampa sem atrito, inclinada de 34,0^{\circ}. (a) Qual é a força horizontal \vec{F} requerida? (b) Qual é a força exercida pela rampa sobre o caixote? (c) Qual seria a aceleração do caixote se o módulo da força horizontal fosse igual a 900 N ?

Passo 1

O enunciado dá um caixote de massa m=110\\ \mathrm{kg} sendo empurrado por uma força horizontal \vec{F} ao longo de uma rampa sem atrito, inclinada de \alpha=34{,}0^\circ. A rampa é sem atrito (força de atrito nula). Adoto a aceleração da gravidade g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.\n
As perguntas são:
(a) Qual o módulo da força horizontal \vec{F} necessário para que o caixote suba a rampa com velocidade constante? (velocidade constante significa aceleração nula ao longo da rampa.)\n
(b) Qual é a força exercida pela rampa sobre o caixote (isto é, a normal N) quando a velocidade é constante?\n
(c) Se o módulo de \vec{F} for 900\\ \mathrm{N}, qual seria a aceleração do caixote (módulo e sentido ao longo da rampa)?

Passo 2

Estratégia e escolha de eixos (explicação didática): desenhamos o diagrama de forças no caixote (diagrama de corpo livre). As forças relevantes são: o peso \vec{P}=m\vec{g} (vertical para baixo), a força horizontal \vec{F} (horizontal), e a força da rampa \vec{N} (normal, perpendicular à superfície). Como a rampa é sem atrito, não há força tangencial de atrito.\n
Para facilitar as contas, escolhemos dois eixos: um eixo x' paralelo à rampa (positivo para cima da rampa) e um eixo y' perpendicular à rampa (positivo para fora da superfície). A ideia é decompor peso e força horizontal nas direções x' e y' e aplicar as equações de Newton nessas direções.

Passo 3

Componentes do peso (aula breve): o peso é vertical para baixo de módulo mg. Ao decompor em componentes nas direções definidas pela rampa com ângulo \alpha entre a rampa e a horizontal, obtemos:\n
Componente do peso ao longo da rampa (para baixo da rampa): mg\sin\alpha.\n
Componente do peso perpendicular à rampa (para dentro da rampa): mg\cos\alpha.\n
Explicação rápida do porquê: se você desenhar o triângulo retângulo formado pelo vetor peso e as direções paralela/perpendicular, as razões trigonométricas dão essas componentes (a hipotenusa é mg, o cateto paralelo tem seno, o cateto perpendicular tem cosseno).

Passo 4

Componentes da força horizontal \vec{F} (aula breve): \vec{F} é horizontal; a direção da rampa forma ângulo \alpha com a horizontal. Projetando \vec{F} na direção paralela à rampa e na direção perpendicular, obtemos:\n
Componente de \vec{F} ao longo da rampa (para cima da rampa): F\cos\alpha.\n
Componente de \vec{F} perpendicular à rampa (empurrando para dentro da rampa): F\sin\alpha.\n
Intuição: a projeção de um vetor horizontal sobre uma reta inclinada de ângulo \alpha é F\cos\alpha ao longo da reta; a componente perpendicular vem com \sin\alpha.

Passo 5

Resolução da parte (a) — força que garante velocidade constante: velocidade constante ao subir significa aceleração nula ao longo da rampa, portanto a soma das forças na direção x' (paralela à rampa) é zero. Escrevendo a equação de equilíbrio nessa direção:\n
\text{soma das forças em }x':\quad F\cos\alpha - mg\sin\alpha = 0.ç\n
Isolando F: F\cos\alpha = mg\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad F = mg\tan\alpha.\n
Agora calculamos numericamente com m=110\\ \mathrm{kg}, g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} e \alpha=34{,}0^\circ.\n
Primeiro mg = 110\cdot 9{,}80 = 1078\\ \mathrm{N}.\n
Calculando \tan 34{,}0^\circ \approx 0{,}6745.\n
Logo F = 1078\cdot 0{,}6745 \approx 727\\ \mathrm{N}.\n
Interpretação: um empurrão horizontal de aproximadamente 727\\ \mathrm{N} fornece a componente ao longo da rampa que compensa exatamente a componente do peso para baixo da rampa.

Passo 6

Resolução da parte (b) — força normal N: como não há aceleração perpendicular à superfície, a soma das forças na direção y' (perpendicular) também é zero. Tomando positivo para fora da superfície:\n
\text{soma das forças em }y':\quad N - mg\cos\alpha - F\sin\alpha = 0.ç\n
Logo N = mg\cos\alpha + F\sin\alpha.\n
Substituímos o valor de F obtido na parte (a), F=mg\tan\alpha:\n
N = mg\cos\alpha + (mg\tan\alpha)\sin\alpha.\n
Simplificando a expressão trigonométrica:\n
(mg\tan\alpha)\sin\alpha = mg\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha = mg\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}.\n
Portanto N = mg\left(\cos\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = mg\left(\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = mg\operatorname{sec}\alpha.\n
Ou seja, quando F é o valor que mantém velocidade constante, a normal vale N=mg\operatorname{sec}\alpha.\n
Agora numericamente: \cos 34{,}0^\circ\approx 0{,}8290, então \operatorname{sec} 34{,}0^\circ \approx 1{,}205. Assim\n
N = 1078\cdot 1{,}205 \approx 1300\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Resolução da parte (c) — aceleração quando F=900\\ \mathrm{N}: agora F não é o valor de equilíbrio, então haverá aceleração ao longo da rampa. A equação de Newton na direção paralela dá:\n
m a = F\cos\alpha - mg\sin\alpha.\n
Isolando a: a = \frac{F\cos\alpha - mg\sin\alpha}{m}.\n
Substituindo valores numéricos: F=900\\ \mathrm{N}, \cos 34{,}0^\circ\approx 0{,}8290, \sin 34{,}0^\circ\approx 0{,}5592, mg=1078\\ \mathrm{N}, m=110\\ \mathrm{kg}.\n
Calculamos as componentes:\n
F\cos\alpha = 900\cdot 0{,}8290 \approx 746{,}1\\ \mathrm{N},\n
mg\sin\alpha = 1078\cdot 0{,}5592 \approx 602{,}9\\ \mathrm{N}.\n
Diferença (força resultante ao longo da rampa): F\cos\alpha - mg\sin\alpha \approx 746{,}1 - 602{,}9 = 143{,}2\\ \mathrm{N}.\n
Portanto a aceleração é a = \frac{143{,}2}{110} \approx 1{,}30\\ \mathrm{m/s^2}.\n
Sentido: positivo para cima da rampa, então a\approx 1{,}30\\ \mathrm{m/s^2} para cima da rampa.

Resposta

(a) F \approx 7,27\times10^{2}\\ \mathrm{N}\n
(b) N \approx 1,30\times10^{3}\\ \mathrm{N}\n
(c) a \approx 1{,}30\\ \mathrm{m/s^2} (para cima da rampa)

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