Um bloco de massa m=0,5 \mathrm{~kg} está preso a uma mola ideal com constante elástica, realizando um movimento harmônico simples. Para tal sistema, pede-se:
a) Determine a frequência angular \omega_{0}, o período;
b) Determine o movimento x(1) sabendo que no instante t=0, a amplitude A=0.1 \mathrm{~m} com velocidade inicial é zero;
c) Determine as energias cinética e potencial;
d) Determine a energia mecânica total do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco preso a uma mola ideal que realiza movimento harmônico simples. Perguntas:
a) Determinar a frequência angular \omega_{0} e o período T.
b) Determinar o deslocamento x(1) (isto é, x no instante t=1\\ \mathrm{s}), sabendo que em t=0 a amplitude é A=0,1\\ \mathrm{m} e a velocidade inicial é zero.
c) Determinar as energias cinética e potencial do sistema (funções do tempo).
d) Determinar a energia mecânica total do sistema.
Informações dadas (valores numéricos que podemos usar):
m = 0,5\,\mathrm{kg},
A = 0,1\,\mathrm{m},
velocidade inicial v(0)=0.
Observação: o enunciado não fornece um valor numérico para a constante elástica k. Portanto, apresentarei as respostas em termos de k (ou em termos de \omega_{0}, que depende de k). Se você tiver um valor para k, basta substituir.

Passo 2

Entendendo a equação do movimento e a frequência angular.
Para uma massa ligada a uma mola ideal, a força elástica (Lei de Hooke) é proporcional ao deslocamento e apontando para a posição de equilíbrio:
F_{\text{el}} = -k x,
onde k é a constante elástica (unidade \mathrm{N/m}) e x é o deslocamento medido a partir do equilíbrio (unidade \mathrm{m}). Pela Segunda Lei de Newton temos:
m\,\ddot{x} = -k x,
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e \ddot{x} é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo (aceleração, em \mathrm{m/s^{2}}). Reorganizando,
\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0.
Essa é a equação diferencial do movimento harmônico simples. Definimos a frequência angular natural \omega_{0} por
\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m},
ou seja
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando: \omega_{0} tem unidade de \mathrm{rad/s} e determina a velocidade angular das oscilações. O período T (tempo para uma oscilação completa) relaciona-se com \omega_{0} por
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}.
Substituindo a definição de \omega_{0} em termos de k e m obtemos a forma usual:
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Passo 3

Solução geral do movimento e aplicação das condições iniciais.
A solução geral da equação \ddot{x} + \omega_{0}^{2}x=0 é
x(t)=A\cos(\omega_{0}t+\varphi),
onde A é a amplitude máxima (em \mathrm{m}) e \varphi é a fase inicial (em radianos). As constantes A e \varphi são determinadas pelas condições iniciais x(0) e v(0).
No enunciado foi dado que em t=0 a amplitude é A=0,1\,\mathrm{m} e a velocidade inicial é zero. Interpretamos isso como:
x(0)=A=0,1\,\mathrm{m},
v(0)=\dot{x}(0)=0.
Avalie x(0) na solução geral:
x(0)=A\cos(\varphi)=0,1.
Avalie a velocidade:
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t+\varphi),
logo em t=0:
v(0)=-A\omega_{0}\sin(\varphi)=0.
Da segunda equação temos \sin(\varphi)=0, o que implica \varphi = 0 ou \varphi = \pi (ou múltiplos de \pi). Como x(0)=A\cos(\varphi)=0,1 e A>0, a escolha consistente é \varphi=0, pois \cos(0)=1. Assim
x(t)=A\cos(\omega_{0}t).
Comentário didático: esse é o caso clássico em que o bloco começa no extremo da amplitude e parte do repouso — ele inicia com deslocamento máximo e velocidade zero.

Passo 4

Calcular x(1) (deslocamento no instante t=1\\ \mathrm{s}).
Usando a expressão encontrada:
x(1)=A\cos(\omega_{0}\cdot 1).
Substituindo A=0,1\,\mathrm{m},
x(1)=0,1\cos(\omega_{0})\\ \mathrm{m}.
Observação: aqui \omega_{0} está em \mathrm{rad/s}. Se você tiver k, pode calcular \omega_{0}=\sqrt{k/m} e então obter um valor numérico para x(1). Sem k, a expressão acima é a forma final.

Passo 5

Encontrar a velocidade v(t) (útil para as energias).
Derivando x(t):
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t).
Em particular, em t=1:
v(1)=-0,1\,\omega_{0}\sin(\omega_{0})\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Energia cinética K(t).
A energia cinética de uma massa em movimento é
K(t)=\tfrac{1}{2}m\,v(t)^{2}.
Substituindo v(t)=-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t),
K(t)=\tfrac{1}{2}m\bigl(A^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t)\bigr).
Podemos simplificar usando \omega_{0}^{2}=k/m se quisermos expressar em termos de k, mas a forma acima em termos de m e \omega_{0} é clara. Substituindo os números dados m=0,5\,\mathrm{kg} e A=0,1\,\mathrm{m} obtemos a expressão numérica simbólica:
K(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 0,5\cdot (0,1)^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t) =0,0025\,\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t)\\ \mathrm{J}.
Se preferirmos em termos de k, usando \omega_{0}^{2}=k/m, então
K(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t)=0,005\,k\sin^{2}(\omega_{0}t)\\ \mathrm{J},
pois \tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}k(0,1)^{2}=0,005\,k.

Passo 7

Energia potencial elástica U(t).
A energia potencial armazenada na mola é
U(t)=\tfrac{1}{2}k\,x(t)^{2}.
Substituindo x(t)=A\cos(\omega_{0}t),
U(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t).
Com A=0,1\,\mathrm{m} isso fica
U(t)=0,005\,k\cos^{2}(\omega_{0}t)\\ \mathrm{J}.
(Explicação: \tfrac{1}{2}kA^{2} = \tfrac{1}{2}k(0,1)^{2} = 0,005\,k.)

Passo 8

Energia mecânica total E e verificação de conservação.
A energia mecânica total é a soma das energias cinética e potencial:
E = K(t) + U(t).
Substituindo as expressões:
E = \tfrac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t) + \tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t).
Usando \omega_{0}^{2}=k/m a primeira parcela vira \tfrac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t). Portanto
E = \tfrac{1}{2}kA^{2}\bigl(\sin^{2}(\omega_{0}t)+\cos^{2}(\omega_{0}t)\bigr) = \tfrac{1}{2}kA^{2}.
Como \sin^{2}+\cos^{2}=1, a energia é constante no tempo — isto é, a energia mecânica total é conservada (no modelo sem amortecimento). Com A=0,1\,\mathrm{m} obtemos
E=\tfrac{1}{2}k(0,1)^{2}=0,005\,k\\ \mathrm{J}.
Também podemos expressar E em termos de m e \omega_{0} usando k=m\omega_{0}^{2}:
E=\tfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}=0,0025\,\omega_{0}^{2}\\ \mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}.
\displaystyle x(1)=0,1\cos(\omega_{0})\\ \mathrm{m}.
\displaystyle K(t)=\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t)=0,0025\,\omega_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t)\\ \mathrm{J} (ou \displaystyle K(t)=0,005\,k\sin^{2}(\omega_{0}t)\\ \mathrm{J}).
\displaystyle U(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t)=0,005\,k\cos^{2}(\omega_{0}t)\\ \mathrm{J}.
\displaystyle E_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}=0,005\,k\\ \mathrm{J}=\tfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}=0,0025\,\omega_{0}^{2}\\ \mathrm{J}.

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