Um bloco de massa
está preso a uma mola ideal com constante elástica, realizando um movimento harmônico simples. Para tal sistema, pede-se:
a) Determine a frequência angular
, o período;
b) Determine o movimento
sabendo que no instante
, a amplitude
com velocidade inicial é zero;
c) Determine as energias cinética e potencial;
d) Determine a energia mecânica total do sistema.
a) Determine a frequência angular
b) Determine o movimento
c) Determine as energias cinética e potencial;
d) Determine a energia mecânica total do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá um bloco preso a uma mola ideal que realiza movimento harmônico simples. Perguntas:
a) Determinar a frequência angular e o período
.
b) Determinar o deslocamento (isto é,
no instante
), sabendo que em
a amplitude é
e a velocidade inicial é zero.
c) Determinar as energias cinética e potencial do sistema (funções do tempo).
d) Determinar a energia mecânica total do sistema.
a) Determinar a frequência angular
b) Determinar o deslocamento
c) Determinar as energias cinética e potencial do sistema (funções do tempo).
d) Determinar a energia mecânica total do sistema.
Informações dadas (valores numéricos que podemos usar):
velocidade inicial
.
Observação: o enunciado não fornece um valor numérico para a constante elástica . Portanto, apresentarei as respostas em termos de
(ou em termos de
, que depende de
). Se você tiver um valor para
, basta substituir.
Observação: o enunciado não fornece um valor numérico para a constante elástica
Passo 2
Entendendo a equação do movimento e a frequência angular.
Para uma massa ligada a uma mola ideal, a força elástica (Lei de Hooke) é proporcional ao deslocamento e apontando para a posição de equilíbrio:
Para uma massa ligada a uma mola ideal, a força elástica (Lei de Hooke) é proporcional ao deslocamento e apontando para a posição de equilíbrio:
onde
é a constante elástica (unidade
) e
é o deslocamento medido a partir do equilíbrio (unidade
). Pela Segunda Lei de Newton temos:
onde
é a massa (em
) e
é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo (aceleração, em
). Reorganizando,
Essa é a equação diferencial do movimento harmônico simples. Definimos a frequência angular natural
por
ou seja
Explicando:
tem unidade de
e determina a velocidade angular das oscilações. O período
(tempo para uma oscilação completa) relaciona-se com
por
Substituindo a definição de
em termos de
e
obtemos a forma usual:
Passo 3
Solução geral do movimento e aplicação das condições iniciais.
A solução geral da equação é
A solução geral da equação
onde
é a amplitude máxima (em
) e
é a fase inicial (em radianos). As constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais
e
.
No enunciado foi dado que em
a amplitude é
e a velocidade inicial é zero. Interpretamos isso como:
Avalie
na solução geral:
Avalie a velocidade:
logo em
:
Da segunda equação temos
, o que implica
ou
(ou múltiplos de
). Como
e
, a escolha consistente é
, pois
. Assim
Comentário didático: esse é o caso clássico em que o bloco começa no extremo da amplitude e parte do repouso — ele inicia com deslocamento máximo e velocidade zero.
Passo 4
Calcular
(deslocamento no instante
).
Usando a expressão encontrada:
Usando a expressão encontrada:
Substituindo
,
Observação: aqui
está em
. Se você tiver
, pode calcular
e então obter um valor numérico para
. Sem
, a expressão acima é a forma final.
Passo 5
Encontrar a velocidade
(útil para as energias).
Derivando :
Derivando
Em particular, em
:
Passo 6
Energia cinética
.
A energia cinética de uma massa em movimento é
A energia cinética de uma massa em movimento é
Substituindo
,
Podemos simplificar usando
se quisermos expressar em termos de
, mas a forma acima em termos de
e
é clara. Substituindo os números dados
e
obtemos a expressão numérica simbólica:
Se preferirmos em termos de
, usando
, então
pois
.
Passo 7
Energia potencial elástica
.
A energia potencial armazenada na mola é
A energia potencial armazenada na mola é
Substituindo
,
Com
isso fica
(Explicação:
.)
Passo 8
Energia mecânica total
e verificação de conservação.
A energia mecânica total é a soma das energias cinética e potencial:
A energia mecânica total é a soma das energias cinética e potencial:
Substituindo as expressões:
Usando
a primeira parcela vira
. Portanto
Como
, a energia é constante no tempo — isto é, a energia mecânica total é conservada (no modelo sem amortecimento). Com
obtemos
Também podemos expressar
em termos de
e
usando
: